Exemplos

(1)$R$, com a operação de grupo tomada como sendo a adição é um grupo de Lie. $R$ é uma variedade diferenciável de dimensão 1, com um atlas formado por uma única carta, $(R,1)$, onde $1$ é a aplicação idêntica. Algebricamente, $R$ é um grupo, pois $a+(b+c)=(a+b)+c$, a identidade é $0$ e o inverso de $a$ é $-a$. Considere a operação $(a,b)\mapsto ab^{-1}=a-b$. Ela é obviamente uma operação diferenciável de $R^{2}\rightarrow R$. Note que $R^2=R\times R$ é aqui a variedade produto $R\times R$ com um atlas $(R\times R,1\times 1)$, onde $1\times 1(a,b)=(a,b)$.
(2)Seja $GL(n)$ o conjunto das matrizes inversíveis $n\times n$ reais, com o produto de matrizes como multiplicação. O conjunto das matrizes $n\times n$ pode ser identificado com o $R^{n^{2}}$. O $GL(n)$ é um subconjuntode $R^{n^{2}}$, caracterizado pelo seguinte: se $A\in GL(n)$, $det\;A\neq 0$. É fácil mostrar que o conjunto dos $A$ tais que $det\;A\neq 0$ é um aberto de $R^{n^{2}}$. Logo, $GL(n)$ é uma subvariedade aberta de $R^{^{2}}$, e é, por conta própria, uma variedade de dimensão $n^2$. A aplicação $A\mapsto A^{-1}$ é diferenciável (Elon Lages lima, Curso de Análise, Vol.2), bem como $(A,B)\mapsto AB$. $GL(n)$ é, então, um grupo de Lie.
(3)A esfera $S^1$ é um grupo de Lie; o toro $T^n=S^1\times... \times S^1$ é um grupo de Lie.
(4)O grupo $O(n)$ das matrizes ortogonais $n\times n$ é um grupo de Lie.