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Experiência do ímã flutuante


\begin{pspicture}(0,0)(6,3)
\psline[linewidth=2pt](0,1)(6,1)
\uput[0](1.5,0.5){{...
...5,2.5)(1.5,2.5)(1.5,2)
\uput[0](1.5,2.25){+}
\uput[0](4,2.25){-}
\end{pspicture}
A figura acima mostra um supercondutor de superfície plana e, perto dele, um ímã. Vamos ver que o fato de que o campo no interior do supercondutor tem de ser nulo, cria uma força de repulsão entre o ímã e o supercondutor que é capaz de levitar o ímã. A demonstração é facil de obter usando técnicas de potencial.

O que acontece com um polo magnético posto diante de um plano supercondutor? Fora do plano e do ponto onde está o polo, temos as equações

$\displaystyle div \vec{B}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (22)
$\displaystyle rot \vec{B}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (23)

A primeira, que é válida sempre (inclusive na superfície) garante a continuidade da componente normal de $\vec{B}$. Como $\vec{B}=0$ dentro do condutor, a componente normal de $\vec{B}$ no plano é nula. Então, resolvemos o problema assim:
$\displaystyle rot \vec{B}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 \rightarrow \vec{B}=-\vec{\nabla}\phi$ (24)
$\displaystyle div \vec{B}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 \rightarrow \vec{\nabla}^2\phi=0$ (25)

Isto é, trata-se de um problema de potencial. A condição de contorno é que $\frac{\partial \phi}{\partial n}=0$ na superfície do supercondutor. O problema está completamente determinado e a solução é única. Vamos mostrar que ela pode ser obtida pelo método das imagens.

\begin{pspicture}(0,0)(6,8)
\psline[linewidth=2pt](3,0)(3,8)
\psline(0,4)(6,4)
\...
...(3.9,3.8){$d$}
\uput[0](1.9,3.8){$d$}
\uput[0](4.8,6.3){$(x,y)$}
\end{pspicture}
A superposição das duas ``cargas'' da figura satisfaz as condições do problema.
\begin{displaymath}
\phi(x,y)=\frac{Q}{a}+\frac{Q}{b}=\frac{Q}{\sqrt{(x-d)^2+y^2}}
+\frac{Q}{\sqrt{(x+d)^2+y^2}}
\end{displaymath} (26)

É óbvio que $\phi(x,y)$ satisfaz a equação de Laplace. Sua derivada
\begin{displaymath}
\frac{\partial \phi}{\partial x}= -2Q\left(\frac{x-d}{[(x-d)...
...{\frac{3}{2}}}
+\frac{x+d}{[(x+d)^2+y^2]^{\frac{3}{2}}}\right)
\end{displaymath} (27)

deve se anular em $x=0$ (componente normal do campo!). Logo,
\begin{displaymath}
\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_{x=0}=0
\end{displaymath} (28)

É então muito fácil prever o comportamento do ímã.
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Henrique Fleming 2002-04-15