Next: Tensores
Up: Introdução aos tensores
Previous: Transformações de coordenadas
Vamos passar agora a um grau maior de generalidade, abrindo mão da existência
de coordenadas cartesianas. Os resultados serão então a extensão necessária
do conceito de vetor (e, mais geralmente, tensor) para espaços não-euclideanos
(ou para coordenadas curvilíneas em qualquer espaço).
Sejam (=1,2...n) as coordenadas de um ponto em um certo sistema
de coordenadas . Suponhamos que em um outro sistema de coordenadas , as
coordenadas do mesmo ponto sejam . Então
|
(66) |
é a função que transforma as coordenadas de em nas coordenadas de
em . Tanto
quanto são funções
do ponto. Seja a diferencial da função . Sabe-se que ela
se transforma, por mudança de variáveis (aqui chamadas de coordenadas), da
maneira seguinte:
|
(67) |
Definição : chama-se vetor contravariante ao ente matemático
caracterizado por componentes que, por uma mudança de
coordenadas
, se transformam em da seguinte forma:
|
(68) |
isto é, da mesma forma que a diferencial das coordenadas de um ponto.
Sejam agora
as componentes do operador
gradiente no sistema de coordenadas . No , serão escritas
|
(69) |
e a matriz de transformação é a inversa da matriz de transformação das componentes
de vetores contravariantes.
Definição : chama-se vetor covariante ao ente caracterizado por componentes
que se transformam, por mudanças de coordenadas, em da forma
seguinte:
|
(70) |
isto é, como as componentes do gradiente.
REGRA IMPORTANTE: COMPONENTES CONTRAVARIANTES, ÍNDICE EM CIMA; COMPONENTES
COVARIANTES, ÍNDICE EM BAIXO!
Subsections
Next: Tensores
Up: Introdução aos tensores
Previous: Transformações de coordenadas
Henrique Fleming
2002-04-15