Potenciais retardados

Os potenciais eletromagnéticos no ``calibre'' de Lorentz satisfazem as equações

$$\vec{\nabla}^2\vec{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2} =-\frac{4\pi}{c}\vec{j}$$ (43)

$$\vec{\nabla}^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{\phi}}{\partial t^2} =-4\pi\rho$$ (44)

Como ambas as equações têm a mesma forma, basta estudar uma delas. Por exemplo, a Eq. 44. Note-se, primeiro, que a equação de Poisson

$$\vec{\nabla}^2\phi=-4\pi\rho$$ (45)

é um caso particular da 44, quando o potencial $\phi$ é independente do tempo. A solução da equação de Poisson 45 é:

$$\phi(\vec{R})=\int d^3\vec{r'}\frac{\rho(\vec{r'})}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$$ (46)

e poderíamos conjecturar que a solução da 44 seria simplesmente uma modificação da 46 que consiste em introduzir a dependência temporal em $\rho$, ou seja

$$\phi(\vec{r},t)=\int d^3\vec{r'}\frac{\rho(\vec{r'},t)}{\vert\vec{r} -\vec{r'}\vert} FALSA!$$ (47)

No entanto, isto não é verdadeiro. A Eq. 47 está dizendo que, mesmo que $\vec{r'}$, a posição da carga, esteja muito distante de $\vec{r}$, a posição em que estamos medindo o potencial, o valor deste no instante $t$ depende só do valor da carga neste mesmo instante. Mas isto significa propagação instantantânea! Mais razoável é supor que uma mudança na carga em $\vec{r'}$ só produza efeitos em $\vec{r}$ depois de um certo intervalo de tempo, durante o qual a informação de que a garga mudou viaja de $\vec{r'}$ até $\vec{r}$. Ora, esta viagem dura $\frac{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}{c}$ segundos, logo, seria de se esperar que

$$\phi(\vec{r},t)=\int d^3\vec{r'}\frac{\rho(\vec{r'}, t-(\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert/c))}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$$ (48)

e, analogamente,

$$\vec{A}(\vec{r},t)=\frac{1}{c}\int d^3\vec{r'}\frac{\vec{j}(... ...t-(\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert/c))}{\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$$ (49)

Este resultado pode ser obtido resolvendo diretamente as Eqs. 43 e 44 pelo método das funções de Green, que é apresentado no apêndice a este capítulo. O leitor pode passar sem essa dedução, se achou razoáveis os argumentos acima. Os potenciais dados por 48 e 49 são denominados potenciais retardados ¹