Dinâmica

Apresentamos nestas notas o tratamento do princípio variacional no estilo de Julian Schwinger. Não há nada de novo aqui: reproduzo, essencialmente, os escritos do mestre, comentando, quando há utilidade no comentário, alguma passagem, ou ilustrando as idéias com algum exemplo. Em minha opinião este tratamento do princípio variacional é particularmente elegante no que tange as consequências das simetrias: o teorema de Noether é obtido de maneira muito econômica, e os geradores dos grupos de transformações de invariância recebem o destaque devido. Isto aproxima muito o método de Schwinger do método original de Emmy Noether. Isto é um trabalho em andamento. Ao poucos irei acrescentando exemplos e generalizando as situações tratadas. Consideraremos primeiro a mecânica quântica de um sistema com um número finito de graus de liberdade. Sejam
$\vert a^\prime\rangle$ : estado do sistema na representação $a$.
$\vert b^\prime\rangle$ : o mesmo, na representação $b$.
A função de transformação $(a^\prime\vert b^\prime)$ liga as duas representações:

$$\vert a^\prime\rangle = \sum_{b^\prime}(b^\prime\vert a^\prime)\vert b^\prime\rangle$$

de onde segue que

$$\langle b^\prime\vert a^\prime\rangle = (b^\prime\vert a^\prime)$$

e, em particular, que

$$(b^\prime\vert a^\prime)^*=(a^\prime\vert b^\prime) \; .$$

Uma relação fundamental é

$$\sum_{b^\prime}(a^\prime\vert b^\prime)(b^\prime\vert c^\prime)=(a^\prime\vert c^\prime)$$

Se $\delta(a^\prime\vert b^\prime)$ e $\delta(b^\prime\vert c^\prime)$ são quaisquer variações infinitesimais, então, da relação acima,

$$\delta(a^\prime\vert c^\prime)=\sum_{b^\prime}\left\{\delta... ...a^\prime\vert b^\prime)\delta(b^\prime\vert c^\prime)\right\}$$ (1)

e

$$\delta(a^\prime\vert b^\prime)^*=\delta(b^\prime\vert a^\prime)$$ (2)

Além disso, $\delta(a^\prime\vert b^\prime)$ pode ser pensado como a matriz de um operador na representação $ab$:

$$\delta(a^\prime\vert b^\prime)=i\langle a^\prime\vert\delta W_{ab}\vert b^\prime\rangle$$ (3)

A relação acima para as variações então dá:

$$\langle a^\prime\vert\delta W_{ac}\vert c^\prime\rangle = ... ...angle b^\prime\vert\delta W_{bc}\vert c^\prime\rangle\right\}$$ (4)

o que é equivalente a

$$\delta W_{ac}=\delta W_{ab}+\delta W_{bc}$$ (5)

Daí segue (tomando-se $a=b$) que

$$\delta W_{aa}=0$$ (6)

e que, tomando-se $a=c$,

$$\delta W_{ba}=-\delta W_{ab} \; .$$ (7)

Além disso, como

$$\delta(a^\prime\vert b^\prime)^*=-i\langle a^\prime\vert\de... ...angle b^\prime\vert\delta W_{ab}^\dagger\vert a^\prime\rangle$$ (8)

e, como $\delta(b^\prime\vert a^\prime)=i\langle b^\prime\vert\delta W_{ba}\vert a^\prime\rangle$, temos

$$\delta W_{ab}^\dagger = -\delta W_{ba}=\delta W_{ab} \; ,$$ (9)

ou seja, os operadores $\delta W_{ab}$ são hermiteanos. A dinâmica, ou seja, a evolução temporal, pode ser estudada como uma seqüência de transformações geradas pelas funções $(a^\prime_1 t_1\vert a^\prime_2 t_2)$, onde as representações se distinguem pelo tempo.

$$\delta(a^\prime_1 t_1\vert a^{\prime \prime}_2 t_2)= i\lang... ...1 t_1\vert \delta W_{12}\vert a^{\prime \prime}_2 t_2\rangle$$ (10)

e, como antes,

$$\delta W_{12} + \delta W_{23} = \delta W_{13} \; .$$ (11)