Postulado dinâmico fundamental

O postulado dinâmico fundamental declara que existe um operador $W_{12}$ tal que

$$\delta W_{12} = \delta\left[W_{12}\right]\;.$$ (12)

Daí segue imediatamente que $W_{12}^\dagger = W_{12}$ e que

$$W_{12}+W_{23}=W_{13}$$ (13)

Se a transformação de $a_1,t_1$ em $a_2,t_2$ é obtida por uma sucessão de transformações infinitesimais, temos

$$W_{12}=\sum_{t_1}^{t_2}W_{t+dt,\;t}$$ (14)

com $W_{t,t}=0$. Escrevendo

$$W_{t+dt,t}=dt\;L(t)$$ (15)

pomos

$$W_{12}=\int_{t_1}^{t_2}dt \; L(t)$$ (16)

Definição: uma simetria é uma transformação que deixa inalterada a função de transformação. Ou seja, sob uma transformação que é uma simetria,

$$\delta(a^\prime _1 t_1\vert a^\prime_2 t_2)=0$$ (17)

As transformações em $(a^\prime_1 t_1\vert a^\prime_2 t_2)$ surgem de transformações nos estados $\vert a^\prime_1 t_1\rangle$ e $\vert a^\prime_2 t_2\rangle$. Temos

$$\delta \langle a^\prime_1 t_1\vert = -i\langle a^\prime_1 t_1\vert G_1$$ (18)

$$\delta \vert a^\prime_2 t_2 \rangle = iG_2 \vert a^\prime_2 t_2\rangle$$ (19)

e, portanto,

$$\delta(a^\prime_1 t_1\vert a^\prime_2 t_2)=i\langle a^\prim... ...rime_1 t_1\vert\delta W_{12}\vert a^\prime_2 t_2 \rangle \; ,$$ (20)

o que quer dizer que

$$\delta W_{12} = \delta \left\{\int_{t_1}^{t_{2}}dt \; L \right\} = G_1-G_2$$ (21)

ou seja, a variação da ação proveniente das transformações

$$\delta \langle a^\prime_1 t_1\vert = -i\langle a^\prime_1 t_1\vert G_1$$ (22)

$$\delta \vert a^\prime_2 t_2 \rangle = iG_2 \vert a^\prime_2 t_2\rangle$$ (23)

depende, para a evolução física do sistema, só de quantidades nos extremos. Ora, a variação contém ainda trmos que dependem dos instantes intermediários entre $t_1$ e $t_2$. Logo, outra maneira de formular (21) é dizer que, para variações que se anulam nos extremos, a evolução física satisfaz a

$$\delta W_{12}=0 \; ,$$ (24)

que é a forma usual do princípio variacional. Suponhamos agora que as transformações geradas pelos $G$ sejam simetrias. Então $\delta W_{12}=0$, e, em conseqüência,

$$G_1\equiv G(t_1) = G(t_2) \equiv G_2$$ (25)

ou seja, os geradores são constantes do movimento. Quando se calcula

$$\delta \left\{\int_{t_1}^{t_2}L\;dt\right\}$$

aparecem, além dos termos ``de superfície'', que dependem só dos instantes extremos, outros termos, que devem, pelo prinípio dinâmico, se anular. Uma maneira de obtê-los é restringir-se a transformações (``variações'') que se anulam nos extremos. Daí vem o usual ``prinípio de mínima ação'': a ação é estacionária para variações que se anulam nos extremos.