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Campos

Campos possuem um número infinito de graus de liberdade. Denotaremos por

\begin{displaymath}
\vert\zeta^\prime(\sigma)\rangle
\end{displaymath}

os estados caracterizados por um conjunto completo de variáveis conpatíveis $\zeta$, que são os campos, em um determinado instante, ou numa superfície de tipo espaço $\sigma$. Como no caso anterior, temos
\begin{displaymath}
\delta\left(\zeta^\prime(\sigma_0)\vert\zeta^\prime(\sigma)...
...prime(\sigma_0)\vert\delta W \vert\zeta^\prime(\sigma)\rangle
\end{displaymath} (26)

Suponhamos que os observáveis sejam submetidos a uma variação

\begin{displaymath}
\delta\zeta=i[F(\sigma),\zeta] \; ,
\end{displaymath}

que afeta também os estados, levando-os a $\vert\zeta^\prime\rangle+\delta\vert\zeta^\prime\rangle$, com
$\displaystyle \delta \vert\zeta^\prime\rangle$ $\textstyle =$ $\displaystyle i F(\sigma)\vert\zeta^\prime\rangle \; ,$ (27)
$\displaystyle \delta \vert\zeta_0^\prime\rangle$ $\textstyle =$ $\displaystyle i F(\sigma_0)\vert\zeta_0^\prime\rangle$ (28)

Então,
$\displaystyle \delta\left(\zeta^\prime(\sigma_0)\vert\zeta^\prime(\sigma)\right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle i\langle\zeta^\prime_0\vert F(\sigma)-F(\sigma_0)\vert\zeta^\prime\rangle$ (29)
  $\textstyle =$ $\displaystyle i\langle\zeta^\prime_0\vert\delta W\vert\zeta^\prime\rangle$  
$\displaystyle \delta W$ $\textstyle =$ $\displaystyle F(\sigma)-F(\sigma_0)$  
$\displaystyle W$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L} d^4x$  

onde $\mathcal{L}$ é a densidade lagrangeana.
Exemplo: campos escalares.
Os campos são descritos por operadores $\phi_r(x)$ que têm propriedades de transformação simples, sob mudanças de referencial. Seja $L$ uma transformação de Lorentz infinitesimal.
\begin{displaymath}
L : x^{\prime \; \mu}=x^\mu - \delta x^\mu \;\;\; (x^\prime = Lx)
\end{displaymath} (30)


\begin{displaymath}
\delta x^\mu = \delta\omega^\mu_{\;\; \nu}x^\nu + \epsilon^\mu
\end{displaymath} (31)


\begin{displaymath}
\delta\omega_{\mu \nu}=-\delta\omega_{\nu \mu}
\end{displaymath} (32)

A fórmula de transformação é
\begin{displaymath}
\phi^\prime_r(x)=U(L)\phi_r(x)U^{-1}(L)
\end{displaymath} (33)


\begin{displaymath}
\phi^\prime_r(Lx)=S_r^{\;\; s}\phi_s(x)
\end{displaymath} (34)

Os campos mais simples são os escalares. Têm só uma componente, e
\begin{displaymath}
\phi^\prime(x^\prime)=\phi(x)
\end{displaymath} (35)

Como
\begin{displaymath}
x^{\prime \mu}=x^\mu-\delta\omega^{\mu \nu}X_\nu-\delta\epsilon^\mu
\equiv x^\mu + \xi^\mu(x)
\end{displaymath} (36)

e
\begin{displaymath}
\phi^\prime(x^\prime)=\phi^\prime(x)+\xi^\lambda(x)\partial_\lambda\phi(x0
\end{displaymath} (37)

temos
\begin{displaymath}
\phi^\prime(x)=\left(\delta\omega^{\lambda \nu} x_\nu + \delta\epsilon^\lambda\right)
\partial_\lambda\phi + \phi(x)
\end{displaymath} (38)

logo,
\begin{displaymath}
\phi(x)+\delta\omega^{\lambda \nu}x_\nu\partial_\lambda\phi...
...ac{1}{2}\delta\omega^{\lambda \nu}J_{\lambda \nu},\phi\right]
\end{displaymath} (39)

o que dá,
\begin{displaymath}
\left[P_\lambda, \phi(x)\right]=-i\partial_\lambda \phi
\end{displaymath} (40)

e
\begin{displaymath}
\left[J_{\lambda \nu},\phi(x)\right]=-i(x_\nu\partial_\lambda\phi-x_\lambda\partial_\nu\phi)
\end{displaymath} (41)

Seja agora $\mathcal{L}$ a densidade lagrangeana que é um escalar que depende de $\phi(x)$ e de suas derivadas $\partial_\mu\phi(x)$. Utilizando variações geradas por transformações do grupo de Poincaré, a equação dinâmica básica
\begin{displaymath}
\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x = F(\sigma)-F(\sigma_0)
\end{displaymath} (42)

vai permitir dterminar a expressão dos geradores do grupo de Poincaré em termos dos campos $\phi$ e suas derivadas. As variações geradas por transformações de Poincaré transformam a região $X$ (espaço-tempo delimitado pelas superfícies de tipo espaço $\sigma_0$ e $\sigma$) na região $X^\prime$. A variação é
\begin{displaymath}
\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x=\int_{X^\prim...
...l{L}
^\prime(x^\prime)d^4x^\prime-\int_{X}\mathcal{L}(x)d^4x
\end{displaymath} (43)

Mas
\begin{displaymath}
\int_{X^\prime}\mathcal{L}^\prime(x^\prime)d^4x^\prime = \i...
...left(\frac{\partial(x^{\prime i})}{\partial x^k}\right)
d^4x
\end{displaymath} (44)

Por outro lado, para a transformação $x^{\prime \mu}=x^\mu+\xi^\mu(x)$, temos
\begin{displaymath}
\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^\lambda}=\delta^\mu_{\;\;\lambda}+\partial_\lambda\xi^\mu
\end{displaymath} (45)

e
\begin{displaymath}
det\left(\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^\lambda}...
..._2 \xi^2)(1+\partial_3 \xi^3)=1+\partial_\lambda
\xi^\lambda
\end{displaymath} (46)

o que permite escrever
\begin{displaymath}
\int_{X^\prime}\mathcal{L}^\prime(x^\prime)d^4x^\prime=
\i...
...cal{L}^\prime(x^\prime(x))(1+\partial_\lambda\xi^\lambda)d^4x
\end{displaymath} (47)

e, como $\mathcal{L}^\prime(x^\prime)=\mathcal{L}^\prime(x)+
\xi^\mu\partial_\mu\mathcal{L}$, temos
\begin{displaymath}
\int_{X^\prime}\mathcal{L}^\prime(x^\prime)d^4x^\prime=
\i...
...\mathcal{L}^\prime(x)+\xi^\mu
\partial_\mu\mathcal{L}\right)
\end{displaymath} (48)


\begin{displaymath}
=\int_{X}\mathcal{L}^\prime(x)d^4x + \int_{X}d^4x\left\{(\p...
...)
\mathcal{L}+\xi^\lambda\partial_\lambda\mathcal{L}\right\}
\end{displaymath} (49)

Então,
\begin{displaymath}
\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x=\int_{\sigma_...
...ma_0}^{\sigma}d^4x\partial_\mu\left(\xi^\mu\mathcal{L}\right)
\end{displaymath} (50)

Mas
$\displaystyle \delta\mathcal{L}(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi(x)}\delta\phi(x)
+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\delta\partial_\mu \phi$ (51)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi(x)}\delta\phi(x)+
\parti...
...ial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right)\delta\phi$  

o que dá
$\displaystyle \delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\p...
...al_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right\}\delta\phi$ (52)
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\partial_\mu(\frac{\partial\ma...
...ial(\partial_\mu \phi)}\delta \phi ) + \partial_\mu(\xi^\mu\mathcal{L})\right\}$  


$\displaystyle \delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\p...
...al_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right\}\delta\phi$ (53)
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\partial_\mu\left\{\frac{\partial\mathcal{L}}
{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi+\xi^\mu\mathcal{L}\right\}$  

Temos ainda que $\delta\phi=-\xi^\lambda\partial_\lambda\phi$, e então
$\displaystyle \delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\p...
...al_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right\}\delta\phi$ (54)
  $\textstyle +$ $\displaystyle \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\partial_\mu
\left\{-\xi^\lambda\left...
...u\phi)}
\partial_\lambda\phi-\delta^\mu_{\;\;\lambda}\mathcal{L}\right]\right\}$  

Equivalentemente,
$\displaystyle \delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\p...
...al_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right\}\delta\phi$ (55)
  $\textstyle +$ $\displaystyle F(\sigma)-F(\sigma_0)$  

com
\begin{displaymath}
F(\sigma)=\int_{\sigma}d\sigma_\mu\left\{-\xi^\lambda\Theta^\mu_{\;\;\lambda}\right\}
\end{displaymath} (56)

Logo, o princípio dinâmico diz que
\begin{displaymath}
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi(x)}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=0
\end{displaymath} (57)

Tomando os $F$ como geradores do grupo de Poincaré, que é um grupo de simetrias do sistema, temos
\begin{displaymath}
\delta \int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x=0\;\;\; \rightarrow\;\;\;F(\sigma)=F(\sigma_0)
\end{displaymath} (58)

e os geradores são constantes do movimento. Como
\begin{displaymath}
F(\sigma)=\int_{\sigma}d\sigma_{\mu}\left\{-\xi^\lambda\lef...
...ma_{\mu}\left\{-\xi^\lambda
\Theta^\mu_{\;\;\lambda}\right\}
\end{displaymath} (59)

temos, pondo
\begin{displaymath}
-\xi^\lambda=\delta\omega^{\lambda \nu}x_\nu+\delta\epsilon^\lambda
\end{displaymath} (60)

que
$\displaystyle F(\sigma)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \int_{\sigma}d\sigma_\mu\left(\delta\omega^{\mu
\nu}x_\nu\Theta^\mu_{\lambda}+\delta_\epsilon^\lambda\Theta^\mu_{\;\;\lambda}\right)$ (61)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \delta\epsilon^\lambda\int_{\sigma}d\sigma_\mu\Theta^\mu_{\;\;\la...
...ma_\mu\left(x_\nu\Theta^\mu_{\;\;\lambda}-x_\lambda\Theta^\mu_{\;\;\nu}
\right)$  

de onde se conclui que
\begin{displaymath}
P_{\lambda}=\int_{\sigma}d\sigma_\mu \Theta^\mu_{\;\;\lambda}
\end{displaymath} (62)

e
\begin{displaymath}
J_{\lambda
\nu}=\int_{\sigma}d\sigma_\mu\left(x_\nu\Theta^\mu_{\;\;\lambda}-x_\lambda\Theta^\mu_{\;\;\nu}\right)
\end{displaymath} (63)

sendo que
\begin{displaymath}
\Theta^\mu_{\;\;\lambda}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partia...
...phi)}\partial_\lambda\phi-\delta^\mu_{\;\;\lambda}\mathcal{L}
\end{displaymath} (64)

é o tensor de momento-energia canônico. As leis de conservação podem ser escritas
\begin{displaymath}
P_{\lambda}=\int d^3x\Theta^0_{\;\;\lambda}\;\;=\;\;cte.
\end{displaymath} (65)


\begin{displaymath}
J_{\lambda\nu}=\int
d^3x\left(x_\nu\Theta^0_{\lambda}-x_\lambda \Theta^0_{\nu}\right)\;\;=\;\;cte.
\end{displaymath} (66)

O teorema de Noether é isso: dado um grupo de simetria, os geradores desse grupo (1 para cada parâmetro) são constantes do movimento.
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Henrique Fleming 2001-12-28