Campos

Campos possuem um número infinito de graus de liberdade. Denotaremos por

$$\vert\zeta^\prime(\sigma)\rangle$$

os estados caracterizados por um conjunto completo de variáveis conpatíveis $\zeta$, que são os campos, em um determinado instante, ou numa superfície de tipo espaço $\sigma$. Como no caso anterior, temos

$$\delta\left(\zeta^\prime(\sigma_0)\vert\zeta^\prime(\sigma)... ...prime(\sigma_0)\vert\delta W \vert\zeta^\prime(\sigma)\rangle$$ (26)

Suponhamos que os observáveis sejam submetidos a uma variação

$$\delta\zeta=i[F(\sigma),\zeta] \; ,$$

que afeta também os estados, levando-os a $\vert\zeta^\prime\rangle+\delta\vert\zeta^\prime\rangle$, com

$$\delta \vert\zeta^\prime\rangle = i F(\sigma)\vert\zeta^\prime\rangle \; ,$$ (27)

$$\delta \vert\zeta_0^\prime\rangle = i F(\sigma_0)\vert\zeta_0^\prime\rangle$$ (28)

Então,

$$\delta\left(\zeta^\prime(\sigma_0)\vert\zeta^\prime(\sigma)\right) = i\langle\zeta^\prime_0\vert F(\sigma)-F(\sigma_0)\vert\zeta^\prime\rangle$$ (29)

$$= i\langle\zeta^\prime_0\vert\delta W\vert\zeta^\prime\rangle$$

$$\delta W = F(\sigma)-F(\sigma_0)$$

$$W = \int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L} d^4x$$

onde $\mathcal{L}$ é a densidade lagrangeana.
Exemplo: campos escalares.
Os campos são descritos por operadores $\phi_r(x)$ que têm propriedades de transformação simples, sob mudanças de referencial. Seja $L$ uma transformação de Lorentz infinitesimal.

$$L : x^{\prime \; \mu}=x^\mu - \delta x^\mu \;\;\; (x^\prime = Lx)$$ (30)

$$\delta x^\mu = \delta\omega^\mu_{\;\; \nu}x^\nu + \epsilon^\mu$$ (31)

$$\delta\omega_{\mu \nu}=-\delta\omega_{\nu \mu}$$ (32)

A fórmula de transformação é

$$\phi^\prime_r(x)=U(L)\phi_r(x)U^{-1}(L)$$ (33)

$$\phi^\prime_r(Lx)=S_r^{\;\; s}\phi_s(x)$$ (34)

Os campos mais simples são os escalares. Têm só uma componente, e

$$\phi^\prime(x^\prime)=\phi(x)$$ (35)

Como

$$x^{\prime \mu}=x^\mu-\delta\omega^{\mu \nu}X_\nu-\delta\epsilon^\mu \equiv x^\mu + \xi^\mu(x)$$ (36)

e

$$\phi^\prime(x^\prime)=\phi^\prime(x)+\xi^\lambda(x)\partial_\lambda\phi(x0$$ (37)

temos

$$\phi^\prime(x)=\left(\delta\omega^{\lambda \nu} x_\nu + \delta\epsilon^\lambda\right) \partial_\lambda\phi + \phi(x)$$ (38)

logo,

$$\phi(x)+\delta\omega^{\lambda \nu}x_\nu\partial_\lambda\phi... ...ac{1}{2}\delta\omega^{\lambda \nu}J_{\lambda \nu},\phi\right]$$ (39)

o que dá,

$$\left[P_\lambda, \phi(x)\right]=-i\partial_\lambda \phi$$ (40)

e

$$\left[J_{\lambda \nu},\phi(x)\right]=-i(x_\nu\partial_\lambda\phi-x_\lambda\partial_\nu\phi)$$ (41)

Seja agora $\mathcal{L}$ a densidade lagrangeana que é um escalar que depende de $\phi(x)$ e de suas derivadas $\partial_\mu\phi(x)$. Utilizando variações geradas por transformações do grupo de Poincaré, a equação dinâmica básica

$$\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x = F(\sigma)-F(\sigma_0)$$ (42)

vai permitir dterminar a expressão dos geradores do grupo de Poincaré em termos dos campos $\phi$ e suas derivadas. As variações geradas por transformações de Poincaré transformam a região $X$ (espaço-tempo delimitado pelas superfícies de tipo espaço $\sigma_0$ e $\sigma$) na região $X^\prime$. A variação é

$$\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x=\int_{X^\prim... ...l{L} ^\prime(x^\prime)d^4x^\prime-\int_{X}\mathcal{L}(x)d^4x$$ (43)

Mas

$$\int_{X^\prime}\mathcal{L}^\prime(x^\prime)d^4x^\prime = \i... ...left(\frac{\partial(x^{\prime i})}{\partial x^k}\right) d^4x$$ (44)

Por outro lado, para a transformação $x^{\prime \mu}=x^\mu+\xi^\mu(x)$, temos

$$\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^\lambda}=\delta^\mu_{\;\;\lambda}+\partial_\lambda\xi^\mu$$ (45)

e

$$det\left(\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^\lambda}... ..._2 \xi^2)(1+\partial_3 \xi^3)=1+\partial_\lambda \xi^\lambda$$ (46)

o que permite escrever

$$\int_{X^\prime}\mathcal{L}^\prime(x^\prime)d^4x^\prime= \i... ...cal{L}^\prime(x^\prime(x))(1+\partial_\lambda\xi^\lambda)d^4x$$ (47)

e, como $\mathcal{L}^\prime(x^\prime)=\mathcal{L}^\prime(x)+ \xi^\mu\partial_\mu\mathcal{L}$, temos

$$\int_{X^\prime}\mathcal{L}^\prime(x^\prime)d^4x^\prime= \i... ...\mathcal{L}^\prime(x)+\xi^\mu \partial_\mu\mathcal{L}\right)$$ (48)

$$=\int_{X}\mathcal{L}^\prime(x)d^4x + \int_{X}d^4x\left\{(\p... ...) \mathcal{L}+\xi^\lambda\partial_\lambda\mathcal{L}\right\}$$ (49)

Então,

$$\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x=\int_{\sigma_... ...ma_0}^{\sigma}d^4x\partial_\mu\left(\xi^\mu\mathcal{L}\right)$$ (50)

Mas

$$\delta\mathcal{L}(x) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi(x)}\delta\phi(x) + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\delta\partial_\mu \phi$$ (51)

$$= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \phi(x)}\delta\phi(x)+ \parti... ...ial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right)\delta\phi$$

o que dá

$$\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x = \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\p... ...al_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right\}\delta\phi$$ (52)

$$+ \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\partial_\mu(\frac{\partial\ma... ...ial(\partial_\mu \phi)}\delta \phi ) + \partial_\mu(\xi^\mu\mathcal{L})\right\}$$

$$\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x = \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\p... ...al_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right\}\delta\phi$$ (53)

$$+ \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\partial_\mu\left\{\frac{\partial\mathcal{L}} {\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi+\xi^\mu\mathcal{L}\right\}$$

Temos ainda que $\delta\phi=-\xi^\lambda\partial_\lambda\phi$, e então

$$\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x = \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\p... ...al_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right\}\delta\phi$$ (54)

$$+ \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\partial_\mu \left\{-\xi^\lambda\left... ...u\phi)} \partial_\lambda\phi-\delta^\mu_{\;\;\lambda}\mathcal{L}\right]\right\}$$

Equivalentemente,

$$\delta\int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x = \int_{\sigma_0}^{\sigma}d^4x\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\p... ...al_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right\}\delta\phi$$ (55)

$$+ F(\sigma)-F(\sigma_0)$$

com

$$F(\sigma)=\int_{\sigma}d\sigma_\mu\left\{-\xi^\lambda\Theta^\mu_{\;\;\lambda}\right\}$$ (56)

Logo, o princípio dinâmico diz que

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi(x)}-\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}=0$$ (57)

Tomando os $F$ como geradores do grupo de Poincaré, que é um grupo de simetrias do sistema, temos

$$\delta \int_{\sigma_0}^{\sigma}\mathcal{L}d^4x=0\;\;\; \rightarrow\;\;\;F(\sigma)=F(\sigma_0)$$ (58)

e os geradores são constantes do movimento. Como

$$F(\sigma)=\int_{\sigma}d\sigma_{\mu}\left\{-\xi^\lambda\lef... ...ma_{\mu}\left\{-\xi^\lambda \Theta^\mu_{\;\;\lambda}\right\}$$ (59)

temos, pondo

$$-\xi^\lambda=\delta\omega^{\lambda \nu}x_\nu+\delta\epsilon^\lambda$$ (60)

que

$$F(\sigma) = \int_{\sigma}d\sigma_\mu\left(\delta\omega^{\mu \nu}x_\nu\Theta^\mu_{\lambda}+\delta_\epsilon^\lambda\Theta^\mu_{\;\;\lambda}\right)$$ (61)

$$= \delta\epsilon^\lambda\int_{\sigma}d\sigma_\mu\Theta^\mu_{\;\;\la... ...ma_\mu\left(x_\nu\Theta^\mu_{\;\;\lambda}-x_\lambda\Theta^\mu_{\;\;\nu} \right)$$

de onde se conclui que

$$P_{\lambda}=\int_{\sigma}d\sigma_\mu \Theta^\mu_{\;\;\lambda}$$ (62)

e

$$J_{\lambda \nu}=\int_{\sigma}d\sigma_\mu\left(x_\nu\Theta^\mu_{\;\;\lambda}-x_\lambda\Theta^\mu_{\;\;\nu}\right)$$ (63)

sendo que

$$\Theta^\mu_{\;\;\lambda}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partia... ...phi)}\partial_\lambda\phi-\delta^\mu_{\;\;\lambda}\mathcal{L}$$ (64)

é o tensor de momento-energia canônico. As leis de conservação podem ser escritas

$$P_{\lambda}=\int d^3x\Theta^0_{\;\;\lambda}\;\;=\;\;cte.$$ (65)

$$J_{\lambda\nu}=\int d^3x\left(x_\nu\Theta^0_{\lambda}-x_\lambda \Theta^0_{\nu}\right)\;\;=\;\;cte.$$ (66)

O teorema de Noether é isso: dado um grupo de simetria, os geradores desse grupo (1 para cada parâmetro) são constantes do movimento.