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Campos possuem um número infinito de graus de liberdade. Denotaremos por
os estados caracterizados por um conjunto completo de variáveis conpatíveis , que
são os campos, em um determinado instante, ou numa superfície de tipo espaço .
Como no caso anterior, temos
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Suponhamos que os observáveis sejam submetidos a uma variação
que afeta também os estados, levando-os a
,
com
Então,
onde é a densidade lagrangeana.
Exemplo: campos escalares.
Os campos são descritos por operadores que têm propriedades de
transformação simples, sob mudanças de referencial. Seja uma transformação
de Lorentz infinitesimal.
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A fórmula de transformação é
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Os campos mais simples são os escalares. Têm só uma componente, e
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Como
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e
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temos
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logo,
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o que dá,
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e
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Seja agora a densidade lagrangeana que é um escalar que depende de
e de suas derivadas
. Utilizando variações geradas por
transformações do grupo de Poincaré, a equação dinâmica básica
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vai permitir dterminar a expressão dos geradores do grupo de Poincaré
em termos dos campos e suas derivadas.
As variações geradas por transformações de Poincaré transformam a região
(espaço-tempo delimitado pelas superfícies de tipo espaço e ) na
região . A variação é
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Mas
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Por outro lado, para a transformação
, temos
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e
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o que permite escrever
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e, como
, temos
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Então,
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Mas
o que dá
Temos ainda que
, e então
Equivalentemente,
com
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Logo, o princípio dinâmico diz que
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Tomando os como geradores do grupo de Poincaré, que é um grupo de simetrias
do sistema, temos
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e os geradores são constantes do movimento.
Como
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temos, pondo
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que
de onde se conclui que
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e
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sendo que
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é o tensor de momento-energia canônico.
As leis de conservação podem ser escritas
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O teorema de Noether é isso: dado um grupo de simetria, os geradores
desse grupo (1 para cada parâmetro) são constantes do movimento.
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Henrique Fleming
2001-12-28