A função de Green do d'Alembertiano

Este estranho nome vem de d'Alembert, grande matemático e enciclopedista francês. ³ Pela definição de função de Green, devemos ter

$$\vec{\nabla}^2 G(\vec{r}-\vec{r'}, t-t') - \frac{1}{c^2}\fr... ...artial t^2} = - 4\pi \delta(\vec{r}-\vec{r'}) \delta(t-t')$$ (16)

Uma observação crucial: $G$ deve ser esfericamente simétrica, uma vez que é o potencial de uma carga puntiforme que existe só no instante $t=t'$. Logo, $G(\vec{r}-\vec{r'}, t-t') = G(\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert,t-t')$. Vai ser conveniente introduzir as variáveis $\vec{R}=\vec{r}-\vec{r'}$ e $T=t-t'$. Pode-se então dizer que $G(\vec{R}, T) = G(R,T)$, onde $R = \frac{\vec{R}}{\vert\vec{R}\vert}$.
Aqui introduzimos uma função $\delta$ unidimensional, $\delta(t-t')$. A definição é a mesma: $\delta(t-t')=0$ exceto quando $t=t'$, sendo infinita neste ponto de tal forma que $\int_{-\infty}^{\infty}dt \delta(t-t') = 1$. É um exercício facil mostrar que $\delta(\vec{r}-\vec{r'}) = \delta(x-x')\delta(y-y')\delta(z-z')$.

Para determinar $G$, observemos que, para $\vec{r}\neq \vec{r'}$, a Eq. 16 fica reduzida a

$$\vec{\nabla}^2 G(R,T ) - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 G(R, T)}{\partial T^2} = 0$$ (17)

Para melhor explorar a simetria esférica, passemos a coordenadas esféricas. O Laplaceano fica então reduzido à parte que contém derivadas em $R$, que é ⁴

$$\vec{\nabla}^2f= \frac{1}{R^2}\frac{\partial}{\partial R}(R^2\frac{\partial}{\partial R}f)$$ (18)

Portanto, a Eq. 17 se escreve

$$\frac{1}{R^2}\frac{\partial}{\partial R}(R^2\frac{\partial}... ...l R}G)- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 G}{\partial T^2} = 0$$ (19)

Vamos introduzir agora a função $u(R,T)$, definida através da relação

$$G(R,T)=\frac{u(R,T)}{R}$$

com $u(R=0) = 0$. O leitor verificará facilmente que, em termos de $u$, a Eq. 19 se escreve

$$\frac{\partial^2 u(R,T)}{\partial R^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u} {\partial T^2}=0$$ (20)

que é a equação de d'Alembert! Como sabemos, sua solução geral é

$$u(R,T)=f(T-\frac{R}{c}) + g(T+\frac{R}{c}) .$$ (21)

onde $f$ e $g$ são funções arbitrárias dos argumentos indicados. Conseqüentemente, a solução geral da Eq. 19 é

$$G(R,T) = \frac{f(T-\frac{R}{c})}{R} + \frac{g(T+\frac{R}{c})}{R}$$ (22)

Isto é o que pode ser obtido considerando apenas o caso $\vec{r}\neq \vec{r'}$. Para obter as expressões detalhadas de $f$ e $g$ precisaremos estudar o que ocorre quando $\vec{r}=\vec{r'}$. A função $f$ representa uma onda esférica emergente, de origem em $R=0$ e que nasce em $T=0$; em contraposição, a função $g$ é uma onda esférica incidente, que converge para o ponto $R=0$, e o atinge em $T=0$. Ora, estas ondas são conseqüências de uma carga puntiforme que existiu apenas no instante $T=0$. Logo, a onda incidente, que morre em $T=0$, viola a causalidade, pois existe antes de sua causa. Devemos, portanto, tomar $g=0$ na solução geral. Na Eq. 16 temos, no primeiro membro, um termo que contém derivadas nas coordenadas (escondidas sob o símbolo $\vec{\nabla}^2$) e outro que contém derivadas no tempo. A função de Green é um potencial que se anula no infinito, e, portanto, tipicamente, uma potência negativa de $\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert$. Por exemplo, $\frac{1}{R^n}$. Quando se deriva em relação às coordenadas obtém-se, grosso modo, $\frac{1}{R^{n+s}}$, se se derivou $s$-vezes. O Laplaceano contém derivadas de segunda ordem, logo, o termo que o contém será da forma $\frac{1}{R^{n+2}}$. Em contraposição, o termo que contém derivadas no tempo não modifica a dependência com $R$. Assim, depois de calcular os dois termos do primeiro membro, teremos um da forma $\frac{1}{R^{n+2}}$ e outro da forma $\frac{1}{R^n}$. Para $R$ indo a $0$, ou, o que é o mesmo, para $\vec{r}$ indo a $\vec{r'}$, o termo de potência $n+2$ no denominador será muito maior, e podemos desprezar o outro, frente a ele. Neste limite, então, a equação para a função de Green será:

$$\vec{\nabla}^2 G(R,T) = -4\pi\delta(\vec{R})\delta(T)$$ (23)

Mas esta é nossa conhecida: é a equação de Poisson! Sua solução é (copiando cuidadosamente da Eq. 9):

$$G(R,T) = \int d^3 \vec{R'}\frac{\delta(\vec{R'})\delta(T)}{\vert\vec{R}-\vec{R'}\vert}$$ (24)

A integral pode ser facilmente calculada usando a propriedade expressa na Eq. 3, dando

$$G(R,T)= \frac{\delta(T)}{R}$$ (25)

Mas isto é o limite, para $R$ indo a $0$, de

$$G(R,T) = \frac{f(T-\frac{R}{c})}{R}$$ (26)

logo, a função de Green deve ser

$$G(R,T) = \frac{\delta(T-\frac{R}{c})}{R}$$ (27)

ou, em todo o detalhe,

$$G(\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert, t-t') = \frac{\delta(t-t'-\fr... ...ert\vec{r}-\vec{r'}\vert}{c})} {\vert\vec{r}-\vec{r'}\vert}$$ (28)