Produto de topologias

Consideraremos somente espaços métricos.
Sejam $(E_1, d_1)$ e $(E_2,d_2)$ dois espaços métricos. A topologia produto desses espaços métricos é o espaço topológico $(E_1\times E_2,d_1\times d_2)$, onde $E_1\times E_2$ é o produto cartesiano de $E_1$ por $E_2$, e

$$d_1\times d_2=sup\;(d_1,d_2)\;.$$ (2)

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Exemplo: Seja $(R,d)$ o espaço métrico dos números reais com a distância usual $d(a,b)=\vert a-b\vert$. Como será o espaço $(R,d)\times(R,d)$? Pela definição será o conjunto $R\times R$, ou seja, o conjunto de pares $(a,b)$ com $a$ e $b$ reais, munido da distância

$$d[(a,b),(c,d)]=max\left(\vert a-b\vert,\vert c-d\vert\right).$$

Pode-se mostrar que esta topologia do $R^2$ é equivalente à usual, com distância euclideana

$$d_{E}\left((a,b),(c,d)\right)=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$$

(toda função que é contínua na topologia $max$ é contínua na topologia euclideana, e reciprocamente).