Introdução

O sistema que vamos estudar é caracterizado por uma densidade lagrangeana $\mathcal{L}$. Por enquanto estaremos restritos ao espaço-tempo de Minkowski. A ação clássica, então, é:

$$S=\int d^4x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi) \; ,$$ (1)

onde tomamos $\mathcal{L}$ como função de alguns campos $\Phi(x)$ e de suas primeiras derivadas $\partial_\mu \phi(x)$. Começaremos supondo que os campos $\phi(x)$ sejam escalares, para revelar mais claramente a estrutura do método.

Uma transformação infinitesimal dos campos

$$\phi(x) \rightarrow \phi^\prime(x)=\phi(x)+\delta\phi(x)$$ (2)

induz uma variação infinitesimal $\delta\mathcal{L}$ na densidade lagrangeana. Diz-se que a transformação é uma simetria quando é possível mostrar, sem o uso das equações do movimento, que

$$\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\Lambda^\mu$$ (3)

onde $\Lambda^\mu$ é um quadrivetor.

Comentários:
(i)``Sem o uso das equções de movimento'', ou seja, para todas as configurações, e não somente a configuração que a natureza escolhe.
(ii)É isto que per,ite que o conceito (de simetria) tenha valor na mecânica quântica, pois ali não há a ``configuração que a natureza escolhe''. No formalismo de Feynman o propagador é uma soma sobre todas as configurações concebíveis. Logo, a simetria, como definida no texto, é uma simetria do propagador.

Exemplo 1:
$\mathcal{L}=\lambda \phi^*\phi$ (O asterisco $*$ representa o complexo conjugado).

A transformação infinitesimal

$$\delta\phi(x)=i\alpha\phi(x) \;\;\; (\alpha \;\; real)$$ (4)

é uma simetria. de fato,

$$\delta\mathcal{L}=\lambda(\delta\phi^*)\phi + \lambda\phi^*\... ...hi = \lambda(-i\alpha\phi^*)\phi + \lambda\phi^*(i\alpha \phi)$$ (5)

ou

$$\delta\mathcal{L}=0$$ (6)

significando que $\Lambda^\mu=0$. Simetrias desse tipo ($\Lambda^\mu=0$) são ditas simetrias internas.
Exemplo 2: translações.
Uma translação das coordenadas

$$x^{\prime \mu}=x^{\prime}-\epsilon^{\mu} \;\;\;(\epsilon^\mu \;\; constante)$$ (7)

induz nos campos $\phi(x)$ uma transformação $\delta\Phi(x)$ que calcularemos agora. Como $\phi(x)$ é escalar,

$$\phi^\prime(x^\prime)=\phi(x)$$ (8)

Por outro lado, expansão em potências de $\epsilon^\mu$ dá

$$\phi^\prime(x^\prime) = \phi^\prime(x)+(x^\prime-x)^\lambda\partial_\lambda\phi^\prime$$ (9)

$$= \phi^\prime(x)-\epsilon^\lambda\partial_\lambda\phi$$

de maneira que

$$\delta\phi(x)=\phi^\prime(x)-\phi(x)=\epsilon^\lambda\partial_\lambda\phi$$ (10)

Suponha que

$$\mathcal{L}(x) = \frac{1}{2}\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-\frac{m^2}{2}\phi^2$$ (11)

$$\delta\mathcal{L}(x) = \frac{1}{2}\left(\partial^\mu\delta\phi\right)\partial_\mu\phi +\frac{1}{2}\partial^\mu\partial_\mu\left(\delta\phi\right)-m^2\phi\delta\phi$$

$$\delta\mathcal{L}(x) = \partial^\mu\phi\partial_\mu(\delta\phi)-m^2\phi\delta\phi$$

$$\delta\mathcal{L}(x) = \partial_\mu\phi\partial^\mu(\epsilon^\lambda\partial_\lambda\phi)- m^2\phi(\epsilon^\lambda\partial_\lambda\phi)$$ (12)

$$\delta\mathcal{L}(x) = \epsilon^\lambda\partial_\lambda\mathcal{L}=\partial_\lambda\left(\epsilon^\lambda\mathcal{L}\right) =\partial_\lambda\Lambda^\lambda$$ (13)

o que mostra que translações são simetrias do sistema descrito pela lagrangeana exibida.