O teorema de Noether

O teorema de Noether afirma que a cada simetria contínua corresponde uma corrente que satisfaz uma equação de continuidade, ou, equivalentemente, uma quantidade que é conservada. Além disso, o teorema fornece uma expressão explícita para a corrente.

Seja $\delta\Phi$ uma transformação de simetria. Então existe $\Lambda^\mu$ tal que

$$\delta\mathcal{L}(x)=\partial_\mu\Lambda^\mu$$ (14)

Um cálculo independente de $\delta\mathcal{L}$, desta vez usando as equações de movimento, será realizado agora.

$$\delta\mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}... ...mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu \delta\phi$$ (15)

As equações de movimento são

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=\partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}} {\partial(\partial_\mu\phi)}$$ (16)

que, usadas em (15), dão

$$\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L... ...athcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\partial_\mu\delta\phi$$ (17)

ou seja,

$$\delta\mathcal{L}=\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial( \partial_\mu \phi)}\delta\phi\right)$$ (18)

Subtraíndo (18) de (14), tem-se

$$\partial_\mu\left(\Lambda^\mu -\frac{\partial \mathcal{L}} {\partial(\partial_\mu \phi)}\delta\phi\right)=0$$ (19)

que é o teorema de Noether. A quantidade

$$J^\mu\equiv\Lambda^\mu-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\phi$$ (20)

é a corrente de Noether associada à simetria $\delta \phi$.