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Considere a função
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onde o contorno , ilustrado na figura, começa e termina no eixo
real, em e , respectivamente.
A função é da forma
com dada por
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Um cálculo simples mostra que
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enquanto que
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Como a integral converge, já que tende a zero para
tendendo a infinito com limitado, as singularidades de
são as singularidades do integrando. A função
tem polos em . O contorno está entre e o eixo
real. Logo, podemos deformá-lo a vontade nessa região.
O ponto sela é determinado pela equação
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ou seja,
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que tem a solução
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A derivada segunda de é
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e, no ponto sela, tem o valor
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A família de curvas é muito complicada. No entanto,
para a curva com qualquer, temos , e, portanto,
constante. Como esta curva passa por , ela é a curva de máximo
aclive procurada. Ou seja, para o cálculo do valor assintótico
de é conveniente deformar o contorno de maneira a fazê-lo
coincidir com o eixo real. Portanto, temos
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Podemos agora expandir em torno do ponto sela. Como
a derivada primeira é nula no ponto sela, resulta que
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o que dá
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Temos então para :
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e agora a integral pode ser calculada facilmente. De fato,
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Usando o resultado conhecido ( integral de Gauss)
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obtemos
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que é o resultado procurado, válido para grandes valores de
.
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Henrique Fleming
2001-11-22