As autofunções da componente z do momento angular

As autofunções de $\hat{l}_z$ são funções $\psi(\phi)$ tais que

$$\hat{l}_z \psi(\phi)=l_z \psi(\phi)$$ (89)

onde $l_z$ é um número. Omitimos aqui, por simplicidade, as outras variáveis, $r$ e $\theta$, de que a função $\psi$ em geral depende porque são irrelevantes para este problema. Como

$$\hat{l}_z = -i\frac{\partial}{\partial \phi}$$

temos, para a Eq.(89),

$$-i\frac{\partial\psi}{\partial \phi}=l_z \psi$$ (90)

cuja solução é

$$\psi(\phi)=Ke^{il_z \phi}\;\;.$$

Devemos ainda ter

$$\psi(\phi + 2n\pi)=\psi(\phi)$$

o que exige que

$$e^{il_z 2 n \pi}=1$$

ou seja, que $l_z$ seja um número inteiro. Vamos denotá-lo por $m$. Então,

$$\hat{l}_z e^{im\phi} = m e^{im\phi}$$ (91)

que é satisfeita para qualquer $m$ inteiro, $-\infty < m < \infty$. Normalizando, temos

$$\psi_m(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{(im\phi)}$$ (92)