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A corrente

A corrente de probabilidade na presença de um potencial vetor $\vec{A}$ é
\begin{displaymath}
\vec{J}=-\frac{i e
\hbar}{2m}\left(\psi^*\vec{\nabla}\psi-\psi\vec{\nabla}\psi^*\right)-\frac{e^2}{mc}
\psi^*\vec{A}\psi
\end{displaymath} (206)

e, como $\vec{J}$ só tem a componente $x$ e $\psi$ só depende de $z$, esta expressão se simplifica para
\begin{displaymath}
J=-\frac{e^2}{mc}\vert\psi\vert^2\;A
\end{displaymath} (207)

Mostramos no apêndice que a função de onda é real. Lembrando que
\begin{displaymath}
F_{s0}=F_{n0}+\alpha\vert\psi\vert^2+\frac{\beta}{2}\vert\psi\vert^4
\end{displaymath} (208)

temos, para a equação para $\psi$,
\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\left[-\hbar^2\vec{\nabla}^2\psi+\frac{e^2}{c^2}\vec{A}^2\psi\right]
+\frac{\partial F_{s0}}{\partial \psi^*}=0
\end{displaymath} (209)

ou
\begin{displaymath}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dz^2}+\frac{e^2}{2mc^2}A^2\psi+\alpha\psi+\beta\psi^3=0
\end{displaymath} (210)

com $\alpha>0$. Logo,
\begin{displaymath}
\frac{d^2\psi}{dz^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\vert\alpha\vert\left...
...ert\alpha\vert}A^2
\right)\psi-\frac{2m}{\hbar^2}\beta\psi^3=0
\end{displaymath} (211)

A equação para $\vec{A}$ é
\begin{displaymath}
\frac{d^2
A}{dz^2}-\frac{4\pi e^2}{m c^2}\vert\psi\vert^2A=0
\end{displaymath} (212)


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Henrique Fleming 2002-04-15