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Teoria de Becker, Sauter

Segundo esta teoria, um supercondutor é um condutor ôhmico de resistividade nula, ou, de condutividade infinita. Condutores ôhmicos satisfazem a equação constitutiva
\begin{displaymath}
\vec{j}=\sigma \vec{E}
\end{displaymath} (1)

o que implica numa potência dissipativa $\vec{j}.\vec{E}$. Os supercondutores não apresentam dissipação , logo, dentro deles, segundo esta teoria,
\begin{displaymath}
\vec{E}=0
\end{displaymath} (2)

o que é também consistente com a condutividade infinita e corrente finita na equação (1).

Pela equação de Maxwell

\begin{displaymath}
rot \vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\end{displaymath} (3)

temos, então, que, dentro do condutor,
\begin{displaymath}
\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0
\end{displaymath} (4)

Seja $\vec{B}_0$ o valor do campo magnético dentro do condutor no instante em que este perdeu a resistência. Então,
\begin{displaymath}
\vec{B}=\vec{B}_0
\end{displaymath} (5)

enquanto o material for supercondutor.

Vamos supor sempre que o supercondutor tenha $\mu=1$, o que é bem verificado experimentalmente.

Então $\vec{B}=\vec{H}=\vec{B}_0=\vec{H}_0$ Este resultado mostra que, quando o material se torna supercondutor, o campo magnético em seu interior é ``congelado'' no valor $\vec{B}_0$. Alterando-se o campo magnético externo (sem atingir o campo crítico), aparecerão então correntes superficiais que impedirão que o campo no interior se altere. Note-se que, como

\begin{displaymath}
\vec{j}=\frac{c}{4\pi}rot \vec{M}
\end{displaymath} (6)

temos também que, em qualquer instante,
\begin{displaymath}
\vec{j}=\vec{j}_0
\end{displaymath} (7)

com
\begin{displaymath}
\vec{j}_0=\frac{c}{4\pi}rot\;\vec{H}_0
\end{displaymath} (8)

Se correntes externas forem introduzidas no condutor perfeito, elas fluirão como correntes superficiais, deixando a distribuição volumétrica inalterada.

O cálculo das correntes superficiais é bastante simples. A equação de Maxwell relevante é

\begin{displaymath}
rot \vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{D}}
{partial t}
\end{displaymath} (9)

No caso estático temos
\begin{displaymath}
rot \vec{H}=\frac{4\pi}{c}\vec{j}
\end{displaymath} (10)

A versão integral dessa equação é
\begin{displaymath}
\oint \vec{H}.d\vec{l}=\frac{4\pi}{c}i
\end{displaymath} (11)

onde $i$ é a corrente que atravessa o contorno orientado como na figura.

\begin{pspicture}(0,0)(6,4)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(6,0)(6,2)(0,2)(0,0)
\psl...
...}
\uput[0](4.2,0.7){$\vec{H}_{0}$}
\uput[0](2.7,1.3){$\Delta l$}
\end{pspicture}

Corte do condutor. A normal $\vec{\mathcal N}$ é
perpendicular ao papel, saindo dele.

Aplicada ao contorno da figura, e fazendo os lados paralelos à superfície tenderem um ao outro (e à superfície), tem-se
\begin{displaymath}
(H_0)_t \Delta l- (H_e)_t\Delta l = \frac{4\pi}{c}\vec{g}.\vec{N}
\Delta l
\end{displaymath} (12)

onde $\vec{g}$ é a densidade superficial de corrente. A maneira mais geral de se escrever esta expressão é
\begin{displaymath}
\vec{g}=\frac{c}{4\pi}\vec{n}\times\left(\vec{H}_e-\vec{H}_0\right)
\end{displaymath} (13)

onde $\vec{n}$ é a normal externa à superfície do condutor.

No caso em que não há correntes externas, as linhas de $\vec{g}$ são fechadas, e aparece um momento magnético no condutor, devido a elas. Para o caso de um condutor cilíndrico longo em um campo uniforme $\vec{H}_e$ paralelo ao eixo do cilindro,

\begin{displaymath}
m=\frac{g \Delta l}{c}A
\end{displaymath} (14)

onde $m$ é o momento de dipolo de um trecho $\Delta l$ do cilindro. O momento de dipolo por unidade de volume é a magnetização , que é, então, dada por
$\displaystyle M$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{g}{c}$ (15)
$\displaystyle M$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{H_e-H_0}{4\pi}\right\vert$ (16)

ou, em forma vetorial,
\begin{displaymath}
\vec{M}=-\frac{1}{4\pi}\left(\vec{H}_e-\vec{H}_0\right)
\end{displaymath} (17)



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Henrique Fleming 2002-04-15