Transformação dos campos

Por uma transformação de Lorentz, isto é, uma transformação tal que

$$x^{' 0} = \gamma(x^0 - \beta x^1)$$ (152)

$$x^{' 1} = \gamma(-\beta x^0 + x^1)$$ (153)

$$x^{' 2} = x^2$$ (154)

$$x^{' 3} = x^3$$ (155)

sabemos que $F^{\mu \nu }$ é um tensor de segunda ordem, logo, que suas fórmulas de transformação são :

$$\ F^{'\mu \nu}=a^{\mu}_{\; \alpha} a^{\nu}_{\; \beta}F^{\alpha \beta}$$ (156)

com

$$a^1_{\; 0} = -\gamma\beta \; \; = a^0_1$$ (157)

$$a^0_{\; 0} = \gamma \; \; = a^1_{\; 1}$$ (158)

$$a^2_{\; 2} = 1 \; \; = a^3_{\; 3}$$ (159)

sendo os únicos coeficientes não-nulos. Substituindo esses valores na eq.(156) temos, por exemplo,

$$\ F^{'01}=a^0_{\; 0}a^1_{\; 1}F^{01}+a^0_{\; 1}a^1_{\; 0}F^... ...1} +\gamma^2 \beta^2 F^{10}=\gamma^2(1-\beta^2)F^{01}=F^{01}$$ (160)

Traduzindo para a linguagem dos campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ com o uso da tabela da eq.(151), temos

$$\ E'_x=E_x$$ (161)

Os cálculos são todos iguais. O resultado final é o seguinte:

$$E'_x = E_x$$ (162)

$$E'_y = \gamma E_y - \beta\gamma B_z$$ (163)

$$E'_z = \gamma E_z + \beta\gamma B_y$$ (164)

$$B'_x = B_x$$ (165)

$$B'_y = \gamma B_y + \beta\gamma E_z$$ (166)

$$B'_z = \gamma B_z - \beta\gamma E_y$$ (167)

O significado dessas fórmulas é claro: os campos $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são aqueles observados por um dos observadores, que escolhemos como estando ``em repouso''. O outro observador, examinando o mesmo sistema físico, mas, em relação ao qual, está em movimento com velocidade $\vec{v}$, observa outros campos, $\vec{E'}$ e $\vec{B'}$. Por exemplo, se o observador $S$ tem diante de si apenas uma carga em repouso, teremos $\vec{B}=0$. Pelas equações acima vemos que $S'$ observará, além de campos elétricos, campos magnéticos

$$B'_x = 0$$ (168)

$$B'_y = \beta\gamma E_z$$ (169)

$$B'_z = -\beta\gamma E_y$$ (170)

o que é razoável, pois, para ele, a carga está em movimento com velocidade $-\vec{v}$, e, portanto, haverá uma corrente, com o seu campo magnético inevitável.