Obtendo a equação

Aplicando-se uma diferença de potential a um condutor ôhmico, e supondo que a dependência temporal não seja muito forte (freqüências da ordem de 60Hz, por exemplo), procura-se a relação entre a força eletromotriz e a corrente. Vamos resolver este problema, seguindo Pauli, usando considerações energéticas. O gerador de f.e.m. é um dispositivo qualquer, freqüentemente de natureza não eletromagnética (por exemplo, química, no caso de baterias), que mantém uma diferença de potencial $\phi' - \phi$ entre os extremos de um condutor ôhmico.

Fig.1 - Esquema do condutor

Precisaremos do importante resultado

$$\vec{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} - \vec{\nabla}\phi$$ (1)

que se obtém assim:

$$\vec{B}=rot \vec{A}$$ (2)

e

$$rot\vec{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$ (3)

Usando a Eq. 2 na Eq. 3 e utilizando a linearidade do operador $rot$, podemos escrever

$$rot(\vec{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{A}}{\partial t})=0$$ (4)

Já sabemos que , para qualquer campo vetorial $\vec{V}$ , a relação

$$rot \vec{V}=0$$ (5)

implica na existência de um escalar $\phi$ tal que

$$\vec{V} = -\vec{\nabla}\phi$$ (6)

Logo, usando a Eq. 5 e a Eq. 6 na Eq. 4, obtemos a Eq. 1.

No condutor considerado, a potência dissipada é dada por

$$J=\int d^3\vec{r} \vec{J}.\vec{E} = \int d^3\vec{r} \frac{ \vec{J}.\vec{J}}{\sigma} = i^2R$$ (7)

onde $i$ é a corrente e $R$ a resistência do condutor.

Por outro lado, usando a Eq. 1,

$$J =\int d^3\vec{r} \vec{j}.\vec{E}=-\int d^3\vec{r} \vec... ...}\int d^3\vec{r} \vec{j}. \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}$$ (8)

Ora, $div(\phi \vec{J})=\phi div(\vec{j})+\vec{j}.\vec{\nabla}\phi$ , e, na ausência de capacitores, podemos supor que não haja variação de carga em nenhum ponto do circuito, ou seja, que $\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$, ou, equivalentemente (por causa da equação da continuidade), que $div\vec{J}=0$. Logo,

$$J = -\int d^3\vec{r} div(\phi\vec{j}) - \frac{1}{c} \int d^3\vec{r} \vec{j}.\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} =$$

$$= - \int \phi\vec{j}.\vec{n} dS - \frac{1}{c^2} \int d^3\vec{r}_P\... ... \frac{\partial}{\partial t}\vec{j}(\vec{r}_Q)} {\vert\vec{r}_P-\vec{r}_Q\vert}$$

$$= -\int \phi \vec{j}.\vec{n}dS - Li\frac{di}{dt}$$ (9)

onde S é, naturalmente, a superfície externa do condutor. A integração na superfície é simples, pois $\vec{j}.\vec{n} =0$ nas superfícies laterais (senão ``escaparia'' corrente pelos lados do condutor), mas não nas ``bases'' do condutor. Temos

$$- \int \phi\vec{j}.\vec{n} dS = i(-\phi' + \phi)$$ (10)

Logo,

$$J=i(\phi' - \phi) - Li\frac{di}{dt}$$ (11)

Comparando com (7), obtemos

$$Ri^2=i(\phi'-\phi)-Li\frac{di}{dt}$$ (12)

Ora, $\phi' - \phi$ é a diferença de potencial $V^{(e)}$ criada pela fonte de força eletromotriz (gerador). Tem-se, então,

$$V^{(e)} = Ri + L\frac{di}{dt}$$ (13)

que é a equação básica na ausência de capacitores.