Obtendo a equação

Estamos agora em condições de incluir um capacitor entre os componentes do nosso circuito. Idealmente, então, o circuito conterá uma resistência (R), uma indutância (L), e uma capacitância (C). Daí o nome RLC. Em relação ao caso anterior (RL), a diferença fundamental é que, por causa da presença do capacitor, a corrente não será mais estacionária. De fato, quando o capacitor estiver se carregando (ou descarregando), haverá uma variação de carga em suas placas. Logo, alí, $\frac{\partial\rho}{\partial t}$ não será nula. Ora, pela equação da continuidade, $div\vec{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$, logo, $div\vec{j}\neq 0$ nas placas do capacitor. (Note que, porém, $div\vec{j}=0$ nas outras partes do circuito, pois não há acúmulo de cargas a não ser nas placas do capacitor).

Fig.2 - Esboço de um circuito RLC

Como no caso anterior, vamos calcular a potência dissipada pelo circuito de duas maneiras diferentes. A primeira, idêntica ao caso anterior, dá:

$$J = \int d^3\vec{r}\vec{j}.\vec{E}= R i^2$$ (23)

enquanto que, na segunda, escrevemos $\vec{E}$ em termos dos potenciais, obtendo

$$J = \int d^3\vec{r} \vec{j}.\vec{E}=\int d^3\vec{r} \vec{j}.... ...{\nabla}\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})$$ (24)

A integração é estendida ao volume do condutor. Como $\vec{j}=0$ entre as placas do capacitor, podemos dividir o volume em dois:$V_1$, que é o volume do primeiro trecho do condutor, começando na base de potencial $\phi'$ e terminando na primeira placa do capacitor, e $V_2$, que começa na segunda placa e vai até a base com potencial $\phi$.Esses volumes são, portanto, disjuntos. Sejam $S_1$ e $S_2$ as superfícies que os delimitam. Considere a integral

$$I_1= - \int d^3\vec{r}\vec{j}.\vec{\nabla}\phi$$ (25)

que pode ser escrita como

$$I_1= - \int_{V_1} d^3\vec{r}\vec{j}.\vec{\nabla}\phi - \int_{V_2} d^3\vec{r}\vec{j}.\vec{\nabla}\phi = F_1 + F_2$$ (26)

$$F_1 =- \int_{V_1} d^3\vec{r}\vec{j}.\vec{\nabla}\phi = - \in... ...vec{r} div(\phi \vec{j}) + \int_{V_1}d^3\vec{r}\phi div\vec{j}$$ (27)

Mas no interior do volume, $div\vec{j}=0$. A última integral se reduz então à sua contribuição na placa, que é $\int_{Placa}d^3\vec{r}\phi (-\frac{\partial\rho}{\partial t})$ Usando o teorema do divergente na primeira, temos:

$$F_1 = - \int_{S_1}\phi \vec{j}.\vec{n}dS - \int_{Placa}d^3\v... ...t} = - \int_{S_1}\phi \vec{j}.\vec{n}dS - \phi_1'\frac{dQ}{dt}$$ (28)

Como já vimos no caso em que não havia capacitores, $F_1$ dá:

$$F_1 = \phi' i - \phi_1' \frac{dQ}{dt}$$ (29)

É uma brincadeira de criança mostrar que, analogamente,

$$F_2= -\phi i + \phi_2'\frac{dQ}{dt}$$ (30)

Para completar o cálculo de $J$ na Eq. 24 resta calcular:

$$-\frac{1}{c}\int d^3\vec{r}\vec{j}.\frac{\partial\vec{A}}{\partial t} = -Li \frac{di}{dt}$$ (31)

já que se trata de uma repetição exata do caso RL. Temos, portanto,

$$J=(\phi'- \phi)i + (\phi_2'-\phi_1')\frac{dQ}{dt} - Li \frac{di}{dt}$$ (32)

Comparando (32) com (23), obtemos

$$(\phi'-\phi)i + (\phi_2'-\phi_1')\frac{dQ}{dt} -Li\frac{di}{dt} = Ri^2$$ (33)

de onde sai

$$V^{(e)}i = V\frac{dQ}{dt}+Li\frac{di}{dt} + Ri^2$$ (34)

onde pusemos $V=\phi_1'-\phi_2'$. que é a diferença de potencial entre as placas do capacitor.

Resta determinar a relação entre $i$ e $\frac{dQ}{dt}$. Para isso, toma-se uma superfície fechada $S_3$ (ver Fig.2). Seja $V_3$ o volume delimitado por essa superfície. Temos

$$\int_{V_3}d^3\vec{r} div\vec{j} = \int_{S_3}\vec{j}.\vec{n}dS$$ (35)

que dá, pela equação da continuidade,

$$-\int_{V_3}d^3\vec{r}\frac{\partial\rho}{\partial t} = -i$$ (36)

ou seja,

$$\frac{dQ}{dt} = i$$ (37)

Levando este resultado à Eq. 34, temos, cancelando um fator $i$,

$$V^{(e)}=V+L\frac{di}{dt}+Ri$$ (38)

Lembrando que, num capacitor, $C=\frac{Q}{V}$,

$$V^{(e)}=\frac{Q}{C}+L\frac{di}{dt}+Ri$$ (39)

Derivando mais uma vez e usando 37,

$$\dot{V}^{(e)}=L\frac{d^2i}{dt^2}+R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$$ (40)

que é nossa equação final.