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Direção da propagação

Como conseqüência da Eq.(17), temos
$\displaystyle \vec{n}.(a_1\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1}
\frac{\vec{p}_1.\vec{r}}{c}-t)}$ $\textstyle +$ $\displaystyle a_1'\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1'
e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_1}\frac{\vec{p}_1'.\vec{r}}{c}-t)}$ (23)
  $\textstyle -$ $\displaystyle a_2\sqrt{\epsilon_2}\vec{e}_2e^{i\omega(\sqrt{\epsilon_2}
\frac{\vec{p}_2.\vec{r}}{c}-t)})=0$  

Esta relação, envolvendo exponenciais, que formam um conjunto completo, só admite soluções de dois tipos: ou os coeficientes de cada exponencial se anulam, ou temos
\begin{displaymath}
e^{i\omega(\frac{\sqrt{\epsilon_1}}{c}\vec{p}_1.\vec{r}-t)}=...
...=
e^{i\omega(\frac{\sqrt{\epsilon_2}}{c}\vec{p}_2.\vec{r}-t)}
\end{displaymath} (24)

e, neste caso,
\begin{displaymath}
\vec{n}.(a_1\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1+a_1'\sqrt{\epsilon_1}\vec{e}_1'
-a_2\sqrt{\epsilon_2}\vec{e}_2)=0
\end{displaymath} (25)

Da Eq.(24) segue que
$\displaystyle \vec{p}_1.\vec{r}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \vec{p}_1\;'.\vec{r}$ (26)
$\displaystyle \sqrt{\epsilon_1}\vec{p}_1.\vec{r}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sqrt{\epsilon_2}\vec{p}_2.\vec{r}$ (27)


\begin{pspicture}(0,0)(10,6)
\psline[linewidth=0.1mm](0,3)(2,3)
\psline[linewi...
...hi_1$}
\uput[0](8,3.8){$\phi_1'$}
\uput[0](7.5,1.5){$\phi_2$}
\end{pspicture}

Usando a notação descrita na figura acima, temos

\begin{displaymath}
\vec{p}_1.\vec{r}=r\cos{\phi_1}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\vec{p_1}'.\vec{r}=r\cos{\phi_1'}
\end{displaymath}

ou $\cos{\phi_1}=\cos{\phi_1'}$, ou ainda, $\phi_1=\phi_1'$ e, finalmente,
\begin{displaymath}
\theta_1=\theta_1'
\end{displaymath} (28)

que é a lei fundamental da reflexão.

Da segunda relação segue que

\begin{displaymath}
\sqrt{\epsilon_1}\cos{\phi_1}=\sqrt{\epsilon_2}\cos{\phi_2}
\end{displaymath}

ou,
\begin{displaymath}
\sqrt{\epsilon_1}\sin{\theta_1}=\sqrt{\epsilon_2}\sin{\theta_2}
\end{displaymath} (29)

que é a lei de Snell-Descartes da refração, acrescida da informação de que, se $n_i$ é o índice de refração do meio $i$, então
\begin{displaymath}
\frac{n_1}{n_2}=\frac{\sqrt{\epsilon_1}}{\sqrt{\epsilon_2}}
\end{displaymath} (30)


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Henrique Fleming 2001-11-29