Relações de dispersão

Considere a integral

$$I=\int_{C}\frac{\epsilon(\omega)-1}{\omega-\omega_0}d\omega$$ (23)

no pano complexo $\omega$. O ponto $\omega_0$ é um valor real e positivo de $\omega$. O contorno percorre o eixo real de $-\infty$ a $\infty$, ''salta'' o ponto $\omega_0$ como indicado na figura, e se fecha por um semi-círculo de raio $R$ no semiplano superior. Toma-se depois o limite $R\rightarrow\infty$.

Pela analiticidade de $\frac{\epsilon(\omega)}{\omega-\omega_0}$ no interior do contorno, temos $I=0$. A integral no círculo grande é zero, pois tomando $\omega=Re^{i\theta}$,

$$\epsilon (Re^{i\theta}) = 1+\int_0^{\infty}e^{i\tau Re^{i\theta}} f(\tau)d\tau$$ (24)

$$= 1+\int_0^{\infty}e^{i\tau R\cos{\theta}}e^{-\tau R \sin{\theta}} f(\tau)d\tau$$ (25)

$$\rightarrow 1$$ (26)

$$\epsilon (Re^{i\theta})-1 \rightarrow 0$$ (27)

Por outro lado,

$$I=\int_0^{2\pi}Re^{i\theta}id\theta\frac{\epsilon (Re^{i\the... ...ta}d\theta \left(\epsilon (Re^{i\theta})-1\right)\rightarrow 0$$ (28)

Em conseqüência,

$$\int_{-\infty}^{\omega_0-\epsilon}\frac{\epsilon(\omega)-1} ... ... +\int_{C'}\frac{\epsilon(\omega)-1}{\omega-\omega_0}d\omega=0$$ (29)

onde $C'$ é um semicírculo em torno do ponto $\omega_0$.
A terceira integral dá, trivialmente,

$$\int_{C'}\frac{\epsilon(\omega)-1}{\omega-\omega_0}d\omega= -i\pi(\epsilon(\omega_0)-1) \; ,$$ (30)

no limite $\epsilon\rightarrow 0$ ($\epsilon$ é o raio do pequeno semicírculo $C'$). Logo,

$$\int_{-\infty}^{\omega_0-\epsilon}\frac{\epsilon(\omega)-1} ... ...mega)-1}{\omega-\omega_0}d\omega = i\pi(\epsilon(\omega_0) -1)$$ (31)

e

$$i(\epsilon(\omega_0)-1)=\frac{P}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\epsilon(\omega)-1}{\omega-\omega_0}d\omega$$ (32)

onde $P$ indica o valor principal de Cauchy. Neste ponto é conveniente fazer mudar a notação. O que era $\omega$ passa a ser $x$; o que era $\omega_0$ passa a ser $\omega$. Tomando agora separadamente a igualdade entre as partes reais e imaginárias, temos:

$$i(\epsilon'(\omega)+i\epsilon''(\omega)-1)= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\epsilon'(x)+i\epsilon''(x)-1} {x-\omega}dx$$ (33)

de onde sai imediatamente que

$$\epsilon''(\omega) = -\frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\epsilon'(x)-1}{x-\omega}dx$$ (34)

$$\epsilon'(\omega) - 1 = \frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\epsilon''(x)}{x-\omega}dx$$ (35)

que são as relações de Kramers [2], Kronig[3]. Estas relações têm inúmeras aplicações. Damos alguns exemplos.
1. Se um meio dielétrico não absorve em nenhuma freqüência, também não polariza em nenhuma freqüência, ou seja, é o vácuo. Logo, só o vácuo é totalmente transparente.
2. Se um meio se polariza, necessariamente absorve (logicamente equivalente à anterior!).