Meios transparentes

Meios dielétricos podem ser transparentes, isto é, ter absorção nula, para certos intervalos de freqüência. Suponhamos que um meio seja transparente em um intervalo que inclui a freqüência $\omega$. Então $\epsilon''(\omega)=0$ e

$$\epsilon'(\omega)-1=\frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty} \f... ...}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\epsilon''(x)}{x-\omega}dx \; ,$$ (36)

já que a singularidade em $\omega$ desaparece por causa do zero no numerador. Derivando em relação a $\omega$,

$$\frac{d\epsilon'}{d\omega}=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon''(x)\frac{dx}{(x-\omega)^2} > 0$$ (37)

ou seja, a permissividade (que nome!) cresce com a freqüência. Ora, $n=\epsilon'^2$ (onde $n$ é o índice de refração), logo,

$$\frac{dn}{d\omega}=2\epsilon'\frac{d\epsilon'}{d\omega}$$ (38)

Na Eq.(35), usando o fato de que $\epsilon''(-\omega)= -\epsilon''(\omega)$, podemos por

$$\epsilon'(\omega) - 1 = \frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\epsilon''(x)}{x-\omega}dx$$ (39)

$$= \frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{0} \frac{\epsilon''(x)}{x-\omega}dx + \frac{1}{\pi}P\int_{0}^{\infty} \frac{\epsilon''(x)}{x-\omega}dx$$ (40)

$$= \frac{1}{\pi}P\int_{-\infty}^{0}\frac{\epsilon''(x)}{-x-\omega}dx + \frac{1}{\pi}P\int_{0}^{\infty}\frac{\epsilon''(x)}{x-\omega}dx$$ (41)

$$= \frac{1}{\pi}P\int_{0}^{\infty}\epsilon''(x)\left(\frac{1}{x-\omega}+ \frac{1}{x+\omega}\right)dx$$ (42)

$$= \frac{1}{\pi}P\int_{0}^{\infty}\epsilon''(x)\frac{x-\omega+x+\omega} {x^2-\omega^2}dx$$ (43)

$$= \frac{2}{\pi}P\int_{0}^{\infty}\frac{x\epsilon''(x)}{x^2-\omega^2}dx$$ (44)

Se o meio é transparente para a freqüência $\omega$,

$$\frac{d\epsilon'(\omega)}{d\omega}=\frac{4\omega}{\pi}\int_0^{\infty} dx\frac{x\epsilon''(x)}{(x^2-\omega^2)^2} > 0$$ (45)

$$\omega^2(\epsilon'(\omega)-1) = \frac{2\omega^2}{\pi} \int_0^{\infty}dx \frac{x\epsilon''(x)}{x^2-\omega^2}$$ (46)

$$= \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty}dx\frac{(\omega^2 - x^2)x\epsilon''(... ...mega^2} + \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty}dx\frac{x^3\epsilon''(x)} {x^2-\omega^2}$$ (47)

$$= \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty}dx\frac{x^3\epsilon''(x)}{x^2-\omega^2} -\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}x\epsilon''(x)dx$$ (48)

$$\frac{d}{d\omega}[\omega^2\left(\epsilon'(\omega)-1\right)]=... ...pi}\int_0^{\infty}\frac{x^3\epsilon''(x)}{(x^2-\omega^2)}dx >0$$

de onde segue que

$$2\omega\left(\epsilon'(\omega)-1\right)+\omega^2\frac{d\epsilon'}{d\omega}>0$$

e

$$\frac{d\epsilon'}{d\omega}>2\frac{1-\epsilon'}{\omega}$$

Concluíndo, temos as desigualdades

$$\frac{d\epsilon'}{d\omega} > 0$$ (49)

$$\frac{d\epsilon'}{d\omega} > 2\frac{1-\epsilon'}{\omega}$$ (50)

Note-se que, se $\epsilon'< 1$, a segunda desigualdade é mais forte.