Fórmulas de Green

Seja $u$ uma função tal que

$$\vec{\nabla}^2u=0\;,$$ (10)

ou seja, $u$ é solução da equação de Laplace. Diz-se então que $u$ é harmônica. Sejam $u$ e $v$ duas funções definidas em uma região $R$, e seja $\Sigma$ a superfície (eventualmente composta de várias partes conexas) que delimita essa região. Apliquemos o teorema do divergente à função $u\vec{\nabla}v$. Temos, preliminarmente, que

$$div(u\vec{\nabla}v)=u\vec{\nabla}^2v + \vec{\nabla}u.\vec{\nabla}v$$ (11)

Logo,

$$\int div(u\vec{\nabla}v)dV =\int u\vec{\nabla}^2v dV +\int... ...a}u.\vec{\nabla}v dV = \int_{\Sigma}u\vec{\nabla}v.\vec{n}dS$$ (12)

onde a igualdade entre a primeira e a última integrais constitui o teorema do divergente. Rearranjando, temos

$$\int dV \vec{\nabla}u.\vec{\nabla}v = -\int dV u\vec{\nabla}^2v +\int_{\Sigma}u\vec{\nabla}v.\vec{n}dS$$ (13)

Esta equação é denominada primeira fórmula de Green. Considere agora a função $u\vec{\nabla}v-v\vec{\nabla}u$, e apliquemos a ela o teorema do divergente. Temos

$$\int dV div(u\vec{\nabla}v-v\vec{\nabla}u)=\int dv(u\vec{\n... ...{\nabla}^2u) = \int dS(u\vec{\nabla}v-v\vec{\nabla}u).\vec{n}$$ (14)

Logo,

$$\int dv(u\vec{\nabla}^2v -v\vec{\nabla}^2u) = \int dS(u\vec{\nabla}v-v\vec{\nabla}u).\vec{n}$$ (15)

Esta igualdade é denominada segunda fórmula de Green. George Green foi um físico-matemático de primeira grandeza, embora tenha sido sempre um amador, e nunca tenha tido qualquer diploma universitário. Seu pai era dono de um moinho, trabalhava duro e achava que esse negócio de física- matemática era coisa de ...Deixa prá lá! Estudando por conta própria Green descobriu praticamente todos os métodos matemáticos da teoria de campos, entre os quais a função de Green e os potenciais $\phi$ e $\vec{A}$. Publicou, em pequena tiragem, por conta própria, suas descobertas em um tratado, que se tornou obra ambicionadíssima e rara, naqueles tempos sem xerox. Quando o jovem William Thomson, depois Lord Kelvin, visitou Paris, havia uma fila de físicos e matemáticos eminentes querendo ter uma entrevista com aquele jovem quase desconhecido. O que eles queriam era tomar emprestado o tratado de Green, do qual Kelvin era o feliz possuidor de uma cópia.