A magia da equação de Laplace

Henrique Fleming

21-8-01

Na eletrostática temos as equações básicas

$$rot \vec{E}=0$$ (1)

(que significa que a força eletrostática é conservativa) e, nas regiões onde não há cargas,

$$div \vec{E}=0 \; .$$ (2)

A primeira dessas equações é equivalente a

$$\vec{E}=-grad\; \phi \; ,$$ (3)

onde $\phi$ é o potencial escalar. Usando 3 em 2, temos

$$div \; grad\; \phi =0$$ (4)

ou

$$\vec{\nabla}^2\phi=0$$ (5)

onde $\vec{\nabla}^2$ é o operador Laplaceano. A equação 5 é a famosa equação de Laplace. Boa parte de sua fama é devida a um poderoso teorema de existência e unicidade que é o tema principal dessas notas. Para demonstrar esse teorema precisamos do teorema do divergente. Numa região onde há cargas, não vale a equação de Laplace, que é substituída pela equação de Poisson,

$$\vec{\nabla}^2\phi = -4\pi \rho$$ (6)

onde $\rho$ é a densidade volumétrica de carga. Por outro lado, generalizando a lei de Coulomb, vimos que

$$\phi(\vec{r})=\int d^3\vec{r'}\frac{\rho(\vec{r}')}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}\;,$$ (7)

e que, portanto, a Eq.(7) exibe uma solução da Eq.(6). De fato, (7) é a solução de (6) que se anula no infinito. Mais tarde vamos estudar o método inventado por George Green para obter este resultado trabalhando diretamente com a equação de Poisson.