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O grande poder da equação de Laplace está no fato de que, em certas condições,
pode-se garantir a existência e a unicidade da solução. Assim, qualquer
que seja o método pelo qual a solução é obtida, a solução é aquela,
e nenhuma outra. Vamos demonstrar aqui a unicidade. O teorema de existência
é difícil, e sua demonstração ajuda pouco na compreensão do
problema.
Suponhamos que seja harmônica no volume , e tomemos .
Usando a Eq.(13) temos então
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(16) |
Logo,
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(17) |
Uma conseqencia dessa fórmula é a seguinte: seja harmônica
em e nula em , que é a superfície que delimita . Então
é nula em . De fato,
implica em
em , e, portanto, em
. Como é contínua, esta constante tem de ser zero, pois
na superfície.
Sejam agora e duas funções harmônicas em e tais que
na superfície que delimita este volume. Então, em
todo o volume. De fato, basta aplicar o teorema anterior para
a função .
Chegamos assim ao enunciado do grande teorema de unicidade: se
é uma solução da equação de Laplace que tem valores determinados
sobre uma superfície fechada, é única. Um exemplo de
aplicação deste teorema com relevância para a física é o
seguinte: determinar uma função que satisfaça a equação de
Laplace no interior de uma superfície fechada e que seja
constante, igual a , nessa superfície. Seja a função
constante cujo valor é . Ela é solução da equação de
Laplace, e seu valor sobre a superfície fechada é . Logo,
pelo teorema de unicidade, esta função é a única função
que satisfaz a equação de Laplace e vale na superfície
considerada. Na física, o potencial eletrostático, em uma
região onde não há cargas, é harmônico (satisfaz a
equação de Laplace). Por outro lado, sabe-se que, no equilíbrio,
o potencial sobre a superfície de um condutor é constante. Logo,
como, dentro de um condutor, a carga é zero, temos que o potencial
é constante, com aquele valor que ele assume na superfície.
Segue como conseqencia que o campo elétrico é zero, no interior
do condutor.
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Henrique Fleming
2002-04-13