Exemplo 1: translações

Vimos que, neste caso,

$$\Lambda^\mu=\epsilon^\mu \mathcal{L}$$ (21)

$$\delta\phi=\epsilon^\nu \partial_\nu \mathcal{L}$$ (22)

A equação (20) dá, então,

$$J^\mu=-\epsilon^\nu\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\parti... ...\partial_\nu\phi-\delta^\mu_{\;\;\nu}\mathcal{L} \right\}\;'\,$$ (23)

que é a corrente de Noether. Como os $\epsilon^\nu$ são constantes arbitrárias, a lei de conservação

$$\partial_\mu J^\mu=0$$ (24)

pode ser escrita

$$\partial_\mu T^\mu_{\;\;\nu}=0$$ (25)

onde

$$T^\mu_{\;\;\nu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\parti... ...u \phi)}\partial_\nu\phi -\delta^\mu_{\;\;\nu} \mathcal{L} \;,$$ (26)

que reconhecemos como o tensor de momento-energia canônico.