Exemplo 2: transformações de Lorentz

As transformações infinitesimais de Lorentz

$$x^{\prime \mu}=x^\mu+\omega^\mu_{\;\;\nu}x^\nu$$ (27)

com $\omega^{\mu \nu}=-\omega^{\nu \mu}$ constantes, são um caso particular das transformações infinitesimais gerais

$$x^{\prime \mu}=x^\mu+\epsilon^\mu(x)$$ (28)

onde $\epsilon^\mu(x)$ é um campo vetorial infinitesimal. Para um escalar, temos

$$\delta\phi(x)=-\epsilon^\lambda(x)\partial_\lambda\phi(x)\;.$$ (29)

Supondo que $\mathcal{L}(x)$ seja um escalar sob essas transformações, temos ainda

$$\delta \mathcal{L} (x)=-\epsilon^\lambda(x)\partial_\lambda \mathcal{L}(x) \; .$$ (30)

Para transformações de Lorentz temos, respectivamente,

$$\delta\phi(x) = -\omega^\lambda_{\;\;\nu}x^\nu\partial_\lambda\phi(x)$$ (31)

$$\delta\mathcal{L}(x) = -\omega^\lambda_{\;\;\nu}x^\nu\partial_\lambda \mathcal{L}(x) \; .$$ (32)

Como $\omega^{\mu \nu}$ é antissimétrio, temos

$$\partial_\lambda\left(-\omega^\lambda_{\;\;\nu}x^\nu \mathcal{L} \right) = -\omega^{\lambda}_{\;\; \nu}\delta^\nu_{\;\; \nu} \mathcal{L} -\omega^{\lambda}_{\;\; \nu} x^\nu\partial_\lambda \mathcal{L}$$ (33)

$$= -\omega^{\lambda}_{\;\; \lambda} \mathcal{L} -\omega^{\lambda}_{\;\; \nu} x^\nu\partial_\lambda \mathcal{L}$$ (34)

$$= 0 -\omega^{\lambda}_{\;\; \nu} x^\nu\partial_\lambda \mathcal{L}$$ (35)

e então

$$\delta \mathcal{L}(x)=\partial_\lambda\left(-\omega^{\lambda... ...u \mathcal{L} \right) =\partial_\lambda\Lambda^\lambda \; \; .$$ (36)

A equação de continuidade de Noether então é:

$$\partial_\mu\left\{-\omega^{\mu}_{\;\; \nu} x^\nu \mathcal{L... ...lambda}_{\;\; \beta} x^\beta \partial_\lambda\phi(x)\right\}=0$$ (37)

que pode ser escrita

$$\omega^{\lambda \beta}\partial_\mu\left\{x_\beta\frac{\parti... ...da\phi-\delta^\mu_{\;\;\lambda} x_\beta \mathcal{L} \right\}=0$$ (38)

ou

$$\omega^{\lambda \beta}\partial_\mu\left\{x_\beta T^\mu_{\;\;\lambda}\right\} =0 \;\;,$$ (39)

onde $T^\mu_{\;\;\lambda}$ é o tensor de momento-energia canônico. Mas os $\omega^{\lambda \beta}$ não são inteiramente arbitrários, já que são antissimétricos. Então, da euqção acima, segue apenas que a parte antissimétrica do termo em colchete (antissimétrica em $\lambda \leftrightarrow \beta$) é nula. Logo,

$$\partial_\mu\left\{x_\beta T^\mu_{\;\;\lambda}-x_\lambda T^\mu_{\;\;\beta}\right\} =0 \;\;,$$ (40)

que usualmente é escrita

$$\partial_\mu M^\mu_{\;\;\beta \lambda}=0$$ (41)

onde

$$M^\mu_{\;\;\beta \lambda}=x_\beta T^\mu_{\;\;\lambda}-x_\lambda T^\mu_{\;\;\beta}$$ (42)

é o tensor de momento angular.