Exemplo 3: Eletromagnetismo

O campo eletromagnético livre é um campo eletromagnético na ausência de fontes, isto é, com $\vec{j}=0$ e $\rho=0$. Por exemplo, uma onda eletromagnética se propagando numa região do espaço onde não há cargas. É descrito pela densidade lagrangeana

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$$ (43)

com

$$F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu \; .$$ (44)

No formalismo canônico as variáveis são os $A_\mu$. Sob translações temos

$$\delta A_\mu(x)=-\epsilon^\lambda\partial_\lambda A_\mu(x)$$ (45)

$$\delta \mathcal{L} =\partial_\lambda\left(-\epsilon^\lambda \mathcal{L}\right)$$ (46)

e a corrente de Noether então é

$$J^\mu=-\epsilon^\mu \mathcal{L} +\frac{\partial \mathcal{L}}... ...artial_\mu A_\nu)}\epsilon^\lambda \partial_\lambda A_\nu \; .$$ (47)

Como

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}=-F^{\mu \nu} \; ,$$ (48)

podemos escrever

$$J^\mu=-\epsilon^\mu \mathcal{L} - F^{\mu \nu}\epsilon^\lambda\partial_\mu A_\nu \; .$$ (49)

A lei de conservação

$$\partial_\mu J^\mu=0$$ (50)

pode ser escrita

$$\partial_\mu J^\mu=\epsilon^\lambda\partial_\mu\left(-F^{\mu... ...da A_\nu -\delta^\mu_{\;\;\lambda}\mathcal{L} \right)=0 \;\;,$$ (51)

e o tensor

$$T^\mu_{\;\;\lambda}=-F^{\mu \nu}\partial_\lambda A_\nu -\delta^\mu_{\;\;\lambda}\mathcal{L}$$ (52)

é o tensor de momento-energia canônico. Há três comentários a fazer:
(i)O tensor não é independente de gauge. De fato, sob a transformação de gauge

$$A_\nu \rightarrow A_\nu+\partial_\nu \Lambda$$ (53)

temos

$$T^\mu_{\;\;\lambda} \rightarrow T^{\prime \mu}_{\;\;\lambda}= -F^{\mu \nu}\partial_\lambda\left(A_\nu + \partial_\nu \Lambda\right)- \delta^\mu_{\;\;\lambda} \mathcal{L}$$ (54)

$$T^{\prime \mu}_{\;\;\lambda} = T^\mu_{\;\;\lambda}-F^{\mu \nu}\partial_\lambda \partial_\nu \Lambda$$ (55)

$$\partial_\mu T^\mu_{\;\;\lambda} = \partial_\mu T^\mu_{\;\;\lambda}-\partial_\mu \left(F^{\mu \nu} \partial_\lambda \partial_\nu \Lambda \right)$$ (56)

$$\partial_\mu T^\mu_{\;\;\lambda} = 0 - F^{\mu \nu}\partial_{\mu}\partial_\lambda \partial\nu \Lambda =0$$ (57)

onde usamos as equções de Maxwell $\partial_\mu F^{\mu \nu}=0$ e a antissimetria de $F^{\mu \nu}$ contraída com a simetria de $\partial_\mu \partial_\nu \Lambda$. Não só $T^{\prime \mu}_\lambda$ satisfaz a mesma equação de continuidade que $T^\mu_{\;\;\lambda}$: as quantidades conservadas são também as mesmas.

$$\int d^3xT^{\prime 0}_{\;\; \;\;\lambda} = \int d^3x T^0_{\;\;\;\lambda}- \int d^3x F^{0 i}\partial_\lambda\partial_\nu \Lambda$$ (58)

$$= \int d^3x T^0_{\;\;\lambda}-\int d^3x\partial_\nu\left(F^{0 \nu}\partial_\lambda \Lambda \right)$$

onde usamos de novo as equações de Maxwell ( $\partial_\nu F^{0 \nu}=0$).

(ii)O tensor não é simétrico, i.é,

$$T^{\mu \nu} \neq T^{\nu \mu} \; .$$ (59)

Embora isto não seja crucial, põe problemas para a teoria de Einstein da gravitação, onde o segundo membro da euqção fundamental é o tensor de momento-energia, e o primeiro termo é simétrico. A ausência de simetria é ainda indesejável porque a expressão para o momento angular, em termos do momento linear, não fica tão elegante. Mas é assim que a natureza é! Suponha que $T_{\mu \nu}$ fosse sempre simétrico. Então,

$$\partial^\mu\left(X_\beta T_{\mu \lambda}-x_\lambda T_{\mu \beta}\right) = \delta ^\mu_{\;\;\beta}T_{\mu \lambda}+x_\beta\partial^\mu T_{\mu... ...bda} -\delta^\mu_{\;\;\lambda}T_{\mu \beta}-x_\lambda\partial^\mu T_{\mu \beta}$$ (60)

$$= T_{\beta \lambda} - T_{\lambda \beta}+x_\beta\partial^\mu T_{\mu \lambda}-x_\lambda\partial^\mu T_{\mu \beta}$$

$$= x_\beta\partial^\mu T_{\mu \lambda}-x_\lambda\partial^\mu T_{\mu \beta}$$

e a conservação do momento linear implicaria sempre na conservação do momento angular, o que não pode ser, já que são associadas a transformações por parâmetros independentes.

(iii)É costume trabalhar com um tensor de momento-energia modificado (mas equivalente, no sentido de que os momentos $P^\mu=\int d\sigma_\lambda T^{\mu \lambda}$ são os mesmos) e simétrico, chamado de tensor de Belinfante-Rosenfeld. Retomamos a relação

$$\delta A_\nu (x)=-\epsilon^\lambda \partial_\lambda A_\nu (x)$$ (61)

e somamos a ela, e subtrímos, $-\epsilon^\lambda \partial_\nu A_\lambda$. Temos

$$\delta A_\nu (x)=-\epsilon^\lambda\left(\partial_\lambda A_\... ...-\nu A_\lambda\right) -\epsilon^\lambda \partial_\nu A_\lambda$$ (62)

Usando esta expressão na corrente de Noether, tem-se

$$J^\mu=-\epsilon^\mu \mathcal{L} -\epsilon^\lambda F^{\mu \nu} \left(F_{\lambda \nu} +\partial_\nu A_\lambda\right)$$ (63)

e a lei de conservação é

$$0=\partial_\mu J^\mu=\epsilon^\lambda\partial_\mu\left(-F^{\... ...da \partial_\mu \left(F^{\mu \nu}\partial_\nu A_\lambda\right)$$ (64)

Mas, no último termo, $\partial_\mu F^{\mu \nu}=0$ (Maxwell) e $F^{\mu \nu}\partial_\mu \partial_\nu A_\lambda=0$ (simetria). Logo,

$$T^{\prime \mu}_{\;\;\;\;\lambda}=-F^{\mu \nu}F_{\lambda \nu}-\delta^\mu_{\;\;\lambda} \mathcal{L}$$ (65)

satisfaz

$$\partial_\mu T^{\prime \mu}_{\;\;\;\;\lambda}=0$$ (66)

bem como $T^{\prime \mu \lambda}=T^{\prime \lambda \mu}$. Tem-se ainda que

$$\int d^3x T^{\prime 0}_{\;\;\;\;\mu}=\int d^3x T^0_{\;\;\mu}$$ (67)

É este $T^{\prime \mu}_{\;\;\;\;\lambda}$ que é denominado tensor de Belinfante- Rosenfeld.