A equação de Laplace

Laplace, após ter inventado a transformação que leva o seu nome¹, generalizou-a de várias formas. A que nos interessa aqui, uma generalização para o plano complexo, serve para resolver certas equações diferenciais ordinárias muito comuns nas aplicações. São equações da forma

$$(a_0+b_0x)y+(a_1+b_1x)\frac{dy}{dx}+\ldots +(a_n+b_nx)\frac{d^ny}{dx^n}=0$$ (1)

que vamos também, de forma abreviada, denotar por

$$F(y)=0$$

Vamos procurar soluções da forma

$$y=\int_{C}Ze^{zx}dz$$ (2)

onde $Z$ é uma função de $z$ a determinar, e o contorno $C$, independente de $x$, também deve ser determinado. Como veremos, a determinação do contorno é parte essencial na construção da solução, e aqui está talvez a principal inovação dessa ``transformada de Laplace'' complexa. Note-se que

$$\frac{d^ky}{dx^k}=\int_{C}Zz^ke^{zx}dz$$

Como

$$F(y)=\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_kx)\frac{d^ky}{dx^k}$$

temos,

$$F(y)=\int_{C}Z\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_kx)z^ke^{zx}dz$$

ou

$$F(y)=\int_{C}Z\left(\sum_{k=0}^{n}a_kz^k+b_kz^kx\right)e^{zx}dz$$

ou

$$F(y)=\int_{C}Z(Qx+P)e^{zx}dz$$ (3)

com

$$Q=\sum_{k=0}^{n}b_kz^k$$

e

$$P=\sum_{k=0}^{n}a_kz^k$$

Podemos então escrever $F(y)$ como uma soma de duas integrais:

$$F(y)=\int_{C}PZe^{zx}dz+\int_{C}ZQxe^{zx}dz$$ (4)

A segunda dessas integrais pode ser escrita assim:

$$\int_{C}ZQxe^{zx}dz = \int_{C}ZQ\frac{d}{dz}e^zx dz=\int_{C... ...ZQe^{zx}\right)dz-\int_{C}e^{zx}\frac{d}{dz}\left(ZQ\right)dz$$ (5)

Podemos agora escolher o contorno $C$ de tal sorte que a primeira integral do segundo membro se anule. De fato, trata-se da integral de uma derivada; logo, o valor da integral 'e a diferença dos valores do integrando nos dois extremos. Escolhemos o contorno, então, ou como um contorno fechado, ou como um contorno aberto em cujos dois extremos a função

$$V(z)=ZQe^{zx}$$ (6)

tenha o mesmo valor (No caso do contorno fechado isto acontece automaticamente). Com essa escolha de contorno,

$$\int_{C}ZQxe^{xz}dz=-\int_{C}e^{xz}\frac{d}{dz}\left(ZQ\right)dz$$

Obtemos assim para a função $F(y)$ a expressão:

$$F(y)=\int_{C}dz\left(PZ-\frac{d}{dz}(ZQ)\right)e^{xz}$$ (7)

Queremos determinar $Z$ de tal forma que $F(y)=0$. Para tanto, o integrando da Eq.(7) deve se anular. Assim,

$$PZ=\frac{d}{dz}\left(ZQ\right)\;\; ou \;\; \frac{P}{Q}ZQ=\frac{d}{dz}(ZQ)$$ (8)

o que nos leva à equação diferencial

$$\frac{1}{ZQ}\frac{d}{dz}(ZQ)=\frac{P}{Q}$$ (9)

Equivalentemente,

$$d\;log(ZQ)=\frac{P}{Q}dz$$

e $log(ZQ)=\int\frac{P}{Q}dz$, ou ainda,

$$ZQ=e^{\int\frac{P}{Q}dz}$$

e, finalmente,

$$Z=\frac{1}{Q}e^{\frac{P}{Q}dz}$$ (10)

A solução procurada é então

$$y(x)=\int_{C}\frac{1}{Q}e^{\int\frac{P}{Q}dz}e^{zx}dz$$ (11)

ou, para maior clareza,

$$y(x)=\int_{C}\frac{1}{Q}e^{\int_{a}^{z}\frac{P(t)}{Q(t)}dt}e^{xz}dz$$ (12)

onde $a$ é, por exemplo, um dos zeros de $P(t)$.