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Teoria de Ginzburg-Landau

Na ausência de campo magnético a transição para o estado supercondutor é de segunda ordem. O parâmetro de ordem, denotado por $\psi$, será tal que
$\displaystyle \psi$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 \;\;\;\; T>T_{c}$ (157)
$\displaystyle \psi$ $\textstyle \neq$ $\displaystyle 0 \;\;\;\; T<T_{c}$ (158)

A idéia de partida é que $\psi$ representa uma função de onda efetiva dos elétrons supercondutores. Logo, a fase de $\psi$ não deve ser determinável, isto é, nas quantidades observáveis devem ocorrer apenas combinações de $\psi$ e $\psi^*$ invariantes pela transformação $\psi \rightarrow e^{i \alpha}\psi$, sendo $\alpha$ um número real. A normalização é, por enquanto, arbitrária.

Considere um supercondutor uniforme na ausência de um campo magnético, e suponha que que $\psi$ seja independente da posição . De acordo com a teoria das transições de fase de segunda ordem, temos, para $T$ suficientemente próximo de $T_{c}$,

\begin{displaymath}
F_{s0}=F_{n0}+\alpha\vert\psi\vert^2+\frac{\beta}{2}\vert\psi\vert^4
\end{displaymath} (159)

onde $F_{s0}$ e $F_{n0}$ são as energias livres (a campo externo zero) da fase supercondutora e normal, respectivamente, e $\alpha$ e $\beta$ são funções da temperatura que têm as propriedades gerais:
$\displaystyle \alpha_{c}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (160)
$\displaystyle \beta_{c}$ $\textstyle >$ $\displaystyle 0$ (161)
$\displaystyle \alpha(T)$ $\textstyle >$ $\displaystyle 0 \;\;\;\; para \;\;\; T>T_{c}$ (162)
$\displaystyle \alpha(T)$ $\textstyle <$ $\displaystyle 0 \;\;\;\; para \;\;\; T< T_{c}$ (163)

No equilíbrio, naturalmente,
\begin{displaymath}
\frac{\partial F_{s0}}{\partial \vert\psi\vert^2}=0 \;\;\;\; \frac{\partial^2 F_{s0}}{
\partial(\vert\psi\vert^2)^2}>0
\end{displaymath} (164)

sto é
\begin{displaymath}
\alpha+\beta\vert\psi\vert^2=0
\end{displaymath} (165)

dando
\begin{displaymath}
\vert\psi\vert^2=-\frac{\alpha}{\beta}
\end{displaymath} (166)

Usando
\begin{displaymath}
\alpha(t)=\alpha_{c}+\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c})=\left(\frac{d\alpha}
{dT}\right)_{c}(T-T_{c})
\end{displaymath} (167)


\begin{displaymath}
\beta(T)=\beta_{c}
\end{displaymath} (168)

temos
\begin{displaymath}
\vert\psi\vert^2=\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c}...
...=
\frac{T_{c}-T}{\beta_{c}}\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}
\end{displaymath} (169)

e
\begin{displaymath}
F_{s0}=F_{n0}-\frac{\alpha^2}{\beta_{c}}+\frac{\beta_{c}}{2}\frac{\alpha^2}{\beta_{c}^2}
=F_{n0}-\frac{\alpha^2}{2\beta_{c}}
\end{displaymath} (170)

Como vimos anteriormente,
\begin{displaymath}
F_{s0}-F_{n0}\approx -\frac{H_{cb}^2}{8\pi}
\end{displaymath} (171)

logo,
\begin{displaymath}
H_{cb}^2=\frac{4\pi}{\beta_{c}}\left(\frac{d\alpha}{dT}\right)_{c}(T-T_{c})^2
\end{displaymath} (172)

que é uma relação muito bem verificada experimentalmente.

Examinemos agora o efeito, sobre o condutor, de um campo magnético independente do tempo. Para se obter $F_{sH}$ é preciso somar a $F_{s0}$ duas contribuições :
(1) A energia do campo: $\frac{H^2}{8\pi}$
(2) A energia proveniente do aparecimento possível de um gradiente de $\psi$, por influência do campo externo.

Vamos estimar esta segunda energia. Ela é função do gradiente de $\psi$, e deve ter a estrutura

\begin{displaymath}
f\left[\vec{\nabla}\psi^*.\vec{\nabla}\psi\right] \; .
\end{displaymath} (173)

Para pequenos valores de $\vert\vec{\nabla}\psi\vert$, podemos escrever
\begin{displaymath}
f\left[\vec{\nabla}\psi^*.\vec{\nabla}\psi\right]=\frac{\hbar^2}{2m}\vert\vec{\nabla}\psi\vert^2
+\ldots
\end{displaymath} (174)

onde $m$ é um parâmetro. O sistema deve, contudo, ser gauge-invariante, e isto implica em que a dependência seja em
\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\left\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2
\end{displaymath} (175)

Logo, em primeira aproximação ,
\begin{displaymath}
F_{sH}=F_{s0}+\frac{H^2}{8\pi}+\frac{1}{2m}\left\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2
\end{displaymath} (176)

A equação para $\psi$ pode agora ser obtida impondo-se que
\begin{displaymath}
\int d^3x F_{sH}
\end{displaymath} (177)

seja estacionário por variações de $\psi^*$. A energia livre total é
\begin{displaymath}
\int d^3x F_{s0}+\int d^3x\frac{H^2}{8\pi}+\frac{1}{2m}\int ...
...t\vert-i\hbar\; grad\,\psi-\frac{e}{c}\vec{A}\psi\right\vert^2
\end{displaymath} (178)

Desses termos, só o último depende de $\psi$. Escrito em detalhe, ele é:

\begin{eqnarray*}
& &\frac{1}{2m}\int d^3x\left(i\hbar
\vec{\nabla}\psi^*-\frac{...
...ec{\nabla}\psi)+
\frac{e^2}{c^2}\vec{A}\psi^*.\vec{A}\psi\right]
\end{eqnarray*}



Isto é, a parte da energia dependente de $\psi$ é:
\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\int d^3x\psi^*\left(-i\hbar
\vec{\nabla}-\frac{...
...hbar
\vec{\nabla}\psi-\frac{ie}{c}\vec{A}\psi\right).\vec{n}dS
\end{displaymath} (179)

Derivando em relação a $\psi^*$ e igualando a zero, temos
\begin{displaymath}
\frac{1}{2m}\left(-i\hbar \vec{\nabla}-\frac{e}{c}\vec{A}\right)^2\psi
+ \frac{\partial F_{s0}}{\partial \psi^*}=0
\end{displaymath} (180)

e
\begin{displaymath}
\vec{n}.\left[-i\hbar\vec{\nabla}-\frac{e}{c}\vec{A}\psi \right]=0 \;
,
\end{displaymath} (181)

sendo a primeira interpretada como a equação de movimento, e a segunda como uma condição de contorno.

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Henrique Fleming 2002-04-15