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Mudanças de base

Sejam

({ $\vec{e}_i$ }) e

({ $\vec{e}_i'$ }) duas bases ortonormais do espaço usual (

como espaço vetorial, com o produto escalar usual). Cada vetor de

pode ser expandido na base

. Denotamos essa expansão assim:

$\begin{displaymath}\ \vec{e}_i'= a_{ji}\vec{e}_j \end{displaymath}$

(1)

Naturalmente temos, também, a expansão

$\begin{displaymath}\ \vec{e}_j=b_{lj}\vec{e}_l' \end{displaymath}$

(2)

Combinando as duas, obtemos

$\begin{displaymath}\ \vec{e}_i'= a_{ji}\vec{e}_j=a_{ji}b_{lj}\vec{e}_l' \end{displaymath}$

(3)

de onde segue que

$\begin{displaymath}\ a_{ji}b_{lj}=\delta_{il} \end{displaymath}$

(4)

Seja

a matriz tal que $A_{ij}=a_{ij}$ e

tal que $B_{il}=b_{il}$ . Então a equação anterior se escreve

$\begin{displaymath}\ A_{ji}B_{lj}=(BA)_{li} = \delta_{li} \end{displaymath}$

(5)

Analogamente,

$\begin{displaymath}\ \vec{e}_i=b_{li}\vec{e}_l'=b_{li}a_{jl}\vec{e}_j \end{displaymath}$

(6)

Logo,

$\begin{displaymath}\ b_{li}a_{jl}=\delta_{ij} \end{displaymath}$

(7)

$\begin{displaymath}\ (AB)_{ji}=\delta_{ji} \end{displaymath}$

(8)

Isto mostra que

, ou seja, que as matrizes

são inversas.

$\begin{displaymath}\ B=A^{-1} \end{displaymath}$

(9)

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Henrique Fleming 2002-04-15