Transformações das componentes de um vetor

Seja $\vec{x}=x_i\vec{e}_i = x_j'\vec{e}_j'$ um vetor qualquer. Temos

$$\ x_j'\vec{e}_j'=x_i\vec{e}_i=x_ib_{li}\vec{e}_l'$$ (10)

ou, o que é o mesmo,

$$\ x_l'\vec{e}_l'=x_ib_{li}\vec{e}_l'$$ (11)

de onde segue que

$$\ x_l'= b_{li}x_i$$ (12)

Inversamente,

$$\ x_l'\vec{e}_l'=x_l'a_{ml}\vec{e}_m=x_m\vec{e}_m$$ (13)

de onde sai que

$$\ x_m=a_{ml}x_l'$$ (14)

ou, resumindo,

$$x_l' = b_{li}x_i$$ (15)

$$x_m = a_{ml}x_l'$$

Note-se que

$$x_l'x_l' = b_{li}x_ib_{lm}x_m=b_{li}b_{lm}x_ix_m$$ (16)

$$= (^t b)_{ml}b_{li}x_ix_m$$

$$= (^tbb)_{mi}x_ix_m$$

$$= \delta_{mi}x_ix_m$$

$$= x_ix_i$$

Diz-se que a combinação das componentes de um vetor dada por $x_lx_l$ é um invariante. Considerando $x_i$ e $x_i'$ como coordenadas de um mesmo ponto, temos a função $x_l'(x)$, e, então,

$$\ \frac{\partial x_l'}{\partial x_i}=b_{li}$$ (17)

e

$$\ \frac{\partial x_m}{\partial x_l'}=a_{ml}$$ (18)

Desta forma,

$$x_l' = \frac{\partial x_l'}{\partial x_i}x_i$$ (19)

$$x_m = \frac{\partial x_m}{\partial x_i'}x_l'$$

No que se segue, vamos definir um vetor através das Eqs.( 19), ou seja, através das propriedades de transformação de suas componentes. Isto se faz mais ou menos assim: seja $\vec{v}$ um vetor, isto é, um conjunto de pares $(v_i, S)$, onde $S$ é uma base e $\{v_i:i=1...n\}$ números ditos componentes nessa base, relacionados de uma base para outra, pelas Eq.(19). Para mostrar que o conjunto dos vetores assim definidos forma um espaço vetorial, definamos, dados $\vec{v}$ e um número $\lambda$, o vetor $\lambda\vec{v}$. É o vetor de componentes $\lambda v_i$. Dados dois vetores, $\vec{v}$ e $\vec{w}$, definamos o vetor $\vec{v}+\vec{w}$ como aquele cujas componentes são $v_i+w_i$. É facil mostrar que, nessas condições , o conjunto dos vetores forma um espaço vetorial. Nosso próximo passo é mostrar que existem quantidades mais complexas que os vetores e que têm interesse físico.