O 4-vetor potencial

Considere agora a quantidade

$$\ A^{\mu}\equiv (\phi, \vec{A})$$ (132)

onde $\phi$ é o potencial escalar e $\vec{A}$ é o potencial vetor. Usando a definição dada acima de $j^{\mu}$ podemos escrever as equações para os potenciais assim;

$$\ \vec{\nabla}^2A^{\mu}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}A^{\mu}= -\frac{4\pi}{c}j^{\mu}$$ (133)

Mas o operador diferencial $\vec{\nabla}^2-\frac{\partial ^2}{\partial (x^0)^2}$ é um invariante, pois

$$\ \vec{\nabla}^2-\frac{\partial ^2}{\partial (x^0)^2}=-g^{\mu \nu}\frac{ \partial ^2}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}$$ (134)

onde usamos, pela primeira vez, o tensor $g^{\mu \nu}$, que é o próprio tensor métrico, mas expresso em termos de suas componentes contravariantes. É costume usar-se a notação $\Box ^2$ para o operador $\vec{\nabla}^2-\frac{\partial ^2}{\partial (x^0)^2}$, que tem também um nome: D'Alembertiano. Então a equação para os potenciais fica

$$\ \Box^2 A^{\mu}=-\frac{4\pi}{c}j^{\mu}$$ (135)

Mas $j^{\mu}$ é um 4-vetor, logo $\Box ^2 A^{\mu}$ também é. Como, além disso, $\Box ^2$ é um invariante, segue de (135) que $A^{\mu}$ também é um 4-vetor. Há ainda uma coisa a ser demonstrada: a eq.(135) para os potenciais só é equivalente às equações de Maxwell se a condição de Lorenz,

$$\ \vec{\nabla}.\vec{A}+\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t}=0$$ (136)

for satisfeita. Como a eq.(135) precisa ser verdadeira em todos os referenciais, por ser um escalar igualado a zero, é preciso mostrar que também a condição de Lorenz é um invariante. Felizmente isto é muito facil:

$$\ \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=\frac{\partial ... ...^k}=\frac{\partial \phi}{c \partial t}+ \vec{\nabla}.\vec{A}$$ (137)

Logo, a condição de Lorenz é invariante, dada por

$$\ \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=0$$ (138)