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Partícula com velocidade constante

Uma partícula se move com velocidade constante $\vec{V}$. Pergunta-se quais os campos criados por ela. Vamos resolver este problema por meio de uma trnsformação de Lorentz adequada. Suponhamos que a partícula esteja em repouso no sistema de referência $S'$. O observador em $S$ vai, então, vê-la nas condições do problema. No sistema $S'$, o campo da partícula é o campo coulombiano. No ponto $P$ (veja a figura) o campo é
\begin{displaymath}\
\vec{E}'(P) = \frac{q}{r^{'2}}\frac{\vec{r}}{r'}
\end{displaymath} (171)

com $(r')^2=b^2+v^2(t')^2$, e suas componentes nas direções $x$ e $y$.

\begin{pspicture}(0,0)(10,6)
\psline{->}(1,3)(8.5,3)
\psline{->}(1,3)(1,6)
\p...
...>}(4.8,5.2)(4.5,4.7) (5.3,4.1)(4.3,3.3)
\uput[0](4.8,5.2){$q$}
\end{pspicture}
Temos
$\displaystyle E'_x(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{q}{b^2+v^2(t')^2}\frac{-vt}{\sqrt{b^2+v^2(t')^2}}$ (172)
$\displaystyle E'_y(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{q}{b^2+v^2(t')^2}\frac{b}{\sqrt{b^2+v^2(t')^2}}$ (173)
$\displaystyle E'_z(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (174)

Note-se agora que
\begin{displaymath}\
t'=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{displaymath} (175)

e, como o ponto $P$ está em $x=0$,
\begin{displaymath}\
t'= \gamma t
\end{displaymath} (176)

Nas coordenadas do observador em $S$, então,
$\displaystyle E'_x(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{-qv\gamma t}{\left(b^2+v^2\gamma^2 t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ (177)
$\displaystyle E'_y(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{qb}{\left(b^2+v^2\gamma^2 t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ (178)
$\displaystyle E'_z(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (179)

Usando agora as fórmulas de transformação (Eq.164 e seguintes),
$\displaystyle E_x(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{-qv\gamma t}{\left(b^2+v^2\gamma^2 t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ (180)
$\displaystyle E_y(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\gamma q b}{\left(b^2+v^2\gamma^2t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ (181)
$\displaystyle E_z(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (182)
$\displaystyle B_x(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (183)
$\displaystyle B_y(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$ (184)
$\displaystyle B_z(P)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\beta \gamma q b}{\left(b^2+v^2\gamma^2t^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ (185)

Para entender a aparência do campo elétrico, note-se que
\begin{displaymath}\
\frac{E_x}{E_y}=\frac{-q \gamma v t}{\gamma q b}=-\frac{vt}{b}=-\frac{x}{y}
\end{displaymath} (186)

isto é, o campo $\vec{E}$, como o $\vec{E}'$, é também radial. Como $E_x'= E_x$ e $E_y'=\frac{E_y}{\gamma}$, o campo transversal é mais forte do que o longitudinal, em relação ao campo $\vec{E}'$.
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Henrique Fleming 2002-04-15