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Notação e preliminares

Um vetor será sempre representado por suas componentes cartesianas. O vetor $\vec{V}$, de componentes $V_i$, será apresentado assim:``o vetor $V_i$'', sem maiores comentários. As seguintes relações são óbvias:
$\displaystyle (\vec{V}+\vec{W})_i$ $\textstyle =$ $\displaystyle V_i + W_i$ (1)
$\displaystyle (\alpha\vec{V})_i$ $\textstyle =$ $\displaystyle \alpha V_i$ (2)

onde $\alpha$ é um número. Note que o índice $i$ pode assumir os valores 1,2 e 3. Todos os índices que aparecerão aqui assumirão esses valores.

O produto escalar de dois vetores $\vec{V}$ e $\vec{W}$, denotado por $\vec{V}.\vec{W}$ é escrito

\begin{displaymath}
\vec{V}.\vec{W}=\sum_{i=1}^{3}V_i W_i
\end{displaymath} (3)

No entanto, o símbolo de soma, $\sum$, é redundante. Vamos eliminá-lo, escrevendo o produto escalar assim:
\begin{displaymath}
\vec{V}.\vec{W}=V_iW_i
\end{displaymath} (4)

A regra é que, quando os índices são repetidos (como o $i$ nessa expressão) é sempre feita uma soma para o índice indo de 1 até 3.

Exemplos:
(1)

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{3}V_i V_i\equiv
V_iV_i=V_{1}V_{1}+V_{2}V_{2}+V_{3}V_{3}=V_{x}^2+V_{y}^2+V_{z}^2=\vert\vec{V}\vert^2
\end{displaymath} (5)

(2)
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}V_iW_iU_jM_j=V_iW_iU_jM_j=(V_{1}W_{1}+V_{2}W_{2}+V_{3}W_{3})
(U_{1}M_{1}+U_{2}M_{2}+U_{3}M_{3})
\end{displaymath} (6)


\begin{displaymath}
= (\vec{V}.\vec{W})(\vec{U}.\vec{M})
\end{displaymath} (7)

(3) O símbolo $\delta_{ij}$, denominado delta de Kronecker é definido assim: $\delta_{11}=\delta_{22}=\delta_{33}=1$. Para todas as outras possibilidades, $\delta_{ij}=0$. Assim, $\delta_{12}=0$. Considere a soma
\begin{displaymath}
\delta_{ij}V_{j}=\delta_{i1}V_{1}+\delta_{i2}V_{2}+\delta_{i3}V_{3}
\end{displaymath} (8)

Para $i=1$, o único termo que não se anula é $\delta_{11}V_{1}=V_{1}$. Mas o número 1 não tem nada de especial, logo, devemos ter que
\begin{displaymath}
\delta_{ij}V_{j}=V_{i}
\end{displaymath} (9)

Note que
\begin{displaymath}
\delta_{ii}=\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=1+1+1=3
\end{displaymath} (10)

pois o índice $i$, repetido, indica a soma.
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Henrique Fleming 2001-12-18