O símbolo $\epsilon _{ijk}$

O símbolo $\epsilon _{ijk}$ é a chave deste método. Vamos definí-lo:

$$\epsilon_{123} = 1$$ (11)

$$\epsilon_{132} = -1$$

$$\epsilon_{123} = \epsilon_{312}=\epsilon_{231}$$

$$\epsilon_{132} = \epsilon_{213}=\epsilon_{321}$$

$$\epsilon_{113} = 0$$

Em palavras, quando houver índices repetidos em $\epsilon _{ijk}$, seu valor é zero. Os demais casos estão descritos na tabela acima. Note-se que $\epsilon_{ijk}\delta_{ij}=0$ (por que?).

Uma maneira mais elegante de descrever as propriedades de $\epsilon _{ijk}$ é a seguinte: considere todas as permutações dos números 1,2,3. Por exemplo, (123), (231), (312),...Tomemos a particular permutação (123). Diz-se que uma permutação é par em relação a (123) se, para obtê-la a partir de (123) é necessário um número par de trocas de índices. A permutação (213) não é par, pois é obtida de (123) pela troca de um par de índices: $(12)\rightarrow (21)$. Ela é dita impar em relação a (123). Pois bem, $\epsilon _{ijk}$ e $\epsilon_{lmn}$ sejam tais que $i\neq j\neq k$ e $l\neq m\neq n$. $\epsilon _{ijk}$ terá o mesmo sinal de $\epsilon_{lmn}$, se $(lmn)$ for uma permutação par em relação a $(ijk)$. Em particular,

$$\epsilon_{ijk} =-\epsilon_{jik}$$ (12)