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Aplicações

A primeira aplicação do teorema importantíssimo (eq.(17)) é o cálculo do duplo produto vetorial, $\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})$. Temos:
\begin{displaymath}
\left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i=\epsilon_{ijk}
V_j(\vec{W}\times\vec{U})_k
\end{displaymath} (18)

Por outro lado,
\begin{displaymath}
(\vec{W}\times\vec{U})_k=\epsilon_{klm}W_lU_m
\end{displaymath} (19)

de modo que
\begin{displaymath}
\left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i=\epsilon_{ijk} V_j
\epsilon_{klm}W_lU_m
\end{displaymath} (20)

Nesta última equação temos a combinação $\epsilon_{ijk}
\epsilon_{klm}$, que é a mesma coisa que $\epsilon_{kij}\epsilon_{klm}$. Pelo teorema importantíssimo,
\begin{displaymath}
\epsilon_{kij}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}
\end{displaymath} (21)

Levando este resultado à eq.(20), temos
$\displaystyle \left(\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})\right)_i$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})V_j
W_lU_m$ (22)
  $\textstyle =$ $\displaystyle W_iV_jU_j-U_iV_jW_J$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle (\vec{V}.\vec{U})W_i-(\vec{V}.\vec{W})U_i$  

ou seja, finalmente,
\begin{displaymath}
\vec{V}\times(\vec{W}\times\vec{U})=(\vec{V}.\vec{U})\vec{W}-(\vec{V}.\vec{W})\vec{U}
\end{displaymath} (23)

Para a segunda aplicação vamos introduzir o ``vetor'' $\vec{\nabla}$, cujas componentes são dadas por

\begin{displaymath}
(\vec{\nabla})_i=\frac{\partial}{\partial x_i}
\end{displaymath} (24)

onde $x_i$ representa, claramente, a $i$-ésima coordenada cartesiana $i=1,2,3$. Usaremos também uma abreviação mais drástica:
\begin{displaymath}
(\vec{\nabla})_i=\partial_i
\end{displaymath} (25)

Com isto podemos introduzir o divergente de um campo vetorial. Sejam $V_i(x,y,z)$ as componentes cartesianas de um campo vetorial. O campo escalar $div\;\vec{V}$ é descrito por
\begin{displaymath}
div\;\vec{V}=\vec{\nabla}.\vec{V}=\partial_iV_i
\end{displaymath} (26)

Um desafio mais interessante é o tratamento do operador $rot$. O rotacional do campo vetorial $\vec{V}$ é em geral apresentado em termos de suas coordenadas cartesianas, dadas pelo determinante simbólico:
\begin{displaymath}
rot\;\vec{V}=\left(\begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \...
...l}{\partial z} \\
V_{x} & V_{y} & V_{z}
\end{array}\right)
\end{displaymath} (27)

que significa
\begin{displaymath}
rot\;\vec{V}=\vec{i}\left(\frac{\partial V_z}{\partial
y}-\f...
...artial V_y}{\partial x}-\frac{\partial
V_x}{\partial y}\right)
\end{displaymath} (28)

Para a nossa notação é útil lembrar que $rot\;\vec{V}=\vec{\nabla}\times\vec{V}$. Por isso,
\begin{displaymath}
(\vec{\nabla}\times\vec{V})_i=\epsilon_{ijk}\partial_jV_k
\end{displaymath} (29)

Como mais uma aplicação simples, vamos mostrar que $rot\;grad=0$.
\begin{displaymath}
(\vec{\nabla}\times\vec{\nabla}f)_i=\epsilon_{ijk}\frac{\par...
...=\epsilon_{ijk} \frac{\partial^2
f}{\partial x_j \partial x_k}
\end{displaymath} (30)

Para mostrar que isto é zero, vamos recorrer a outro resultado importante. Seja $A_{ij}$ tal que $A_{ij}=-A_{ji}$, e $S_{ij}$ tal que $S_{ij}=S_{ji}$. Dizemos que $S$ é simétrica, e que $A$ é antissimétrica. Vamos mostrar que
\begin{displaymath}
S_{ij}A_{ij}=0
\end{displaymath} (31)

(Note que um caso particular desta relação é que $\epsilon_{ijk}\delta_{ij}=0$, pois $\delta_{ij}=\delta_{ji}$ enquanto $\epsilon_{ijk} =- \epsilon_{jik}$). A prova é esta:
\begin{displaymath}
S_{ij}A_{ij}=-S_{ij}A_{ji}
\end{displaymath} (32)

pela antissimetria de $A$. Agora, mudamos os nomes dos índices: aquele que era denotado por $i$ passa a ser denotado por $j$, e vice-versa. A expressão anterior então fica, repetindo-a desde o começo:
\begin{displaymath}
S_{ij}A_{ij}=-S_{ij}A_{ji}=-S{ji}A_{ij}=-S{ij}A_{ij}
\end{displaymath} (33)

onde, na última igualdade, usamos a simetria de $S$. Comparando os dois extremos, vemos que temos uma expressão $X=-X$, cuja única solução é 0. Logo,
\begin{displaymath}
S_{ij}A_{ij}=0
\end{displaymath} (34)



Um ponto que em geral causa perplexidade é a ``mudança de nome'' dos índices. Isto é uma coisa muito simples, se se restaura, por um momento o símbolo de somatório:

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^3S_i=\sum_{j=1}^3S_j
\end{displaymath} (35)

ou seja, a letra que designa a soma é arbitrária. Podemos trocá-la à vontade. Por isso, $S_{ij}A_{ij}=S_{ji}A_{ji}=S_{lm}A_{lm}$.



Voltando à eq.(30), temos

\begin{displaymath}
\epsilon_{ijk} \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}=0
\end{displaymath} (36)

pois se aprende no Cálculo Diferencial e Integral que a derivada mista não depende da ordem de derivação, ou seja, por exemplo,
\begin{displaymath}
\frac{\partial f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial
y \partial x}
\end{displaymath} (37)

Logo, a eq.(30) nos diz que
\begin{displaymath}
rot \; grad \; f=0
\end{displaymath} (38)

qualquer que seja $f$.
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Henrique Fleming 2001-12-18