Aplicações ``peso-pesado''

Aqui veremos resultados que são difíceis, ou muito trabalhosos, de obter por outros métodos. Em primeiro lugar, vamos mostrar (como aquecimento) que $div\;rot=0$.

$$div\;rot\;\vec{V}=\vec{\nabla}.(\vec{\nabla}\times\vec{V})= ... ...{ijk} \partial_j V_k= \epsilon_{ijk} \partial_i \partial_j V_k$$ (39)

Ora,

$$\epsilon_{ijk} \partial_i \partial_j =0$$ (40)

pois $\epsilon _{ijk}$ é antissimétrico pela troca de índices $(ij)$, e $\partial_i \partial_j = \partial_j \partial_i$. Segue que

$$div\; rot\; \vec{V}=0$$ (41)

qualquer que seja $\vec{V}$.

Seja $\vec{E}$ um campo vetorial. Por exemplo, o campo elétrico. Na teoria de Maxwell precisamos calcular $rot\;rot\;\vec{E}$. Com o nosso método, isso é simples:

$$\left(\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})\right)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j(rot\;\vec{E})_k$$ (42)

$$= \epsilon_{ijk}\partial_j \epsilon_{klm}\partial_lE_m$$

$$= \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm}\partial_j\partial_lE_m$$

$$= \epsilon_{kij}\epsilon_{klm}\partial_j\partial_lE_m$$

$$= (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{lj})\partial_j\partial_l E_m$$

$$= \partial_m\partial_iE_m-\partial_j\partial_j E_i$$

Resta interpretar o resultado. A última linha pode ser escrita:

$$\partial_i\partial_mE_m-\partial_j\partial_j E_i=\partial_i(... ...2E_i=\left(grad\;div\;\vec{E} -\vec{\nabla}^2 \vec{E}\right)_i$$ (43)

Logo,

$$\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times\vec{E})= grad\;div\;\vec{E}-\vec{\nabla}^2\vec{E}$$ (44)

Outra relação de grande importância na eletrodinâmica envolve o cálculo de $div(\vec{E}\times\vec{B})$.

$$div(\vec{E}\times\vec{B})=\partial_i \epsilon_{ijk} E_j B_k = \epsilon_{ijk} (\partial_i E_j)B_k+\epsilon_{ijk} E_j(\partial_i B_k)$$ (45)

$$= B_k \epsilon_{kij}\partial_i E_j - E_j \epsilon_{jik}\partial_iB_k$$

$$= B_k(rot\;\vec{E})_k-E_j(rot\;\vec{B})_j$$

$$= \vec{B}.rot\;\vec{E}-\vec{E}.rot\;\vec{B}$$

Finalmente, vamos ao nosso tour de force: calcular $\vec{\nabla}. (\vec{A}.\vec{B})$.

$$\left(\vec{\nabla}(\vec{A}.\vec{B})\right)_i= \partial_i(A_j B_j)=(\partial_i A_j)B_j+A_j(\partial_i B_j)$$ (46)

$$=(\partial_i A_j-\partial_j A_i)B_j+(\partial_j A_i)B_j+ A_j(\partial_i B_j-\partial_j B_i)+A_j\partial_j B_i$$

Temos, preliminarmente, que

$$(\partial_j A_i)B_j = B_j\partial_j A_i =(\vec{B}.\vec{\nabla})A_i$$ (47)

$$(A_j\partial_j)B_i = (\vec{A}.\vec{\nabla})B_i$$ (48)

de maneira que, também preliminarmente,

$$\vec{\nabla}(\vec{A}.\vec{B})= (\vec{B}.\vec{\nabla})\vec{A} +(\vec{A}.\vec{\nabla})\vec{B}+ ...$$ (49)

Para calcular os termos adicionais, notemos que

$$\partial_iA_j-\partial_j A_i=\epsilon_{kij}\epsilon_{klm} \partial_l A_m$$ (50)

como o leitor, a esta altura, poderá facilmente verificar. Logo,

$$(\partial_i A_j-\partial_j A_i)B_j=B_j \epsilon_{kij}\epsilon_{klm} \partial_l A_m = B_j \epsilon_{kij}(rot\; \vec{A})_k$$ (51)

$$= \epsilon_{ijk} B_j(rot\vec{A})_k=(\vec{B}\times rot\;\vec{A})_i$$

Analogamente,

$$A_j(\partial_i B_j-\partial_j B_i)=(\vec{A}\times rot\;\vec{B})_i$$ (52)

Juntando estes termos à eq.(49), temos

$$\vec{\nabla}(\vec{A}.\vec{B})= (\vec{B}.\vec{\nabla})\vec{A}... ...B}+ (\vec{B}\times rot\;\vec{A}) +(\vec{A}\times rot\;\vec{B})$$ (53)