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A equação
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(30) |
merece tratamento especial. Em primeiro lugar, porque uma cálculo
apressado de
dá zero, o que daria
zero para o primeiro membro. Mas esse cálculo está errado, pois
a função é descontínua no ponto . Uma maneira
de descobrir que o laplaceano de não é sempre
zero é pelo uso do teorema do divergente. De fato,
logo, tomando uma esfera de raio
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(31) |
e isto é o fluxo do campo elétrico
,
que é o campo de uma carga -1 colocada na origem. Logo, pelo
teorema de Gauss, esse fluxo é igual a . Conseqüentemente,
o primeiro membro da Eq.(31) não pode ser zero,
ou seja,
não pode ser identicamente
zero. No entanto, para , o laplaceano é nulo, pois
a função é contínua, e o cálculo direto está correto. Logo,
é no ponto que acontece alguma coisa interessante.
Incidentalmente, mostramos que
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(32) |
Voltemos ao cálculo da Eq.(30). Note-se que, para
qualquer ,
, ou seja,
o valor da função para é irrelevante para
o cálculo da integral, uma vez que vem sempre multiplicado
por . O único valor de que interessa é . Logo,
a integral não se altera se substituirmos pela função
constante que tem o valor em todos os pontos. Assim,
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(33) |
que é o resultado que queríamos obter.
Em tratamentos mais avançados se demonstra a seguinte relação:
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onde, no segundo membro, aparece a ``função'' delta de Dirac. Este
resultado sintetiza o resultado anterior e muitos outros
semelhantes. Veja, por exemplo, as minhas notas sobre as funções
de Green, e sobretudo, a grande obra de Dirac [5],
``Principles of Quantum Mechanics'', tida por muitos como o maior livro de
Física desde os ``Principia'' de Newton[6].
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Henrique Fleming
2002-04-13