Comportamento Assintótico

As funções descritas pelas Eqs.(35) e (36) estão expressas como uma representação integral, e, sendo assim, não se pode ter uma idéia imediata de seu comportamento. Nos casos em que $x\rightarrow\infty$ e $x\rightarrow -\infty$ obtêm-se comportamentos assintóticos mais reveladores. Vamos a eles. Para $x$ positivo e muito grande na função de Airy (correspondendo a $x$ negativo e de módulo muito grande para a função de onda) temos de achar um contorno de integração que permita utilizar o método do ponto sela. (Veja o Apêndice dedicado a este método). É conveniente voltar à expressão exponencial

$$y(x)=\int_{C}\exp{\left(x(t-\frac{t^3}{3x})\right)}dt$$ (37)

Pondo $f(t)=t-\frac{t^3}{3x}$ temos $\frac{df}{dt}=1-\frac{t^2}{x}$ e a condição $\frac{df}{dt}=0$ implica em $t=\pm\sqrt{x}$, que são os possíveis pontos sela. Na região permitida, temos só o valor $t=-\sqrt{x}$. A seguir faremos a escolha de um caminho de integração que passe pelo ponto sela e seja de máximo aclive. Na realidade, é suficiente que o caminho seja de máximo aclive nas vizinhanças do ponto sela. Vamos então expandir $f(t)$ em série de Taylor em torno de $t=-\sqrt{x}$. Temos,

$$f(t)=f(-\sqrt{x})+(t+\sqrt{x})\frac{df}{dt} +\frac{(t+\sqrt{x})^2} {2}\frac{d^2f}{dt^2}+...$$

as derivadas sendo calculadas no ponto $t=-\sqrt{x}$. Facilmente se obtém que

$$f(-\sqrt{x})=-\frac{2}{3}\sqrt{x}$$

e que

$$\frac{d^2f}{dt^2}_{t=-\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$$

Naturalmente a derivada primeira é zero nesse ponto, pois ele é ponto sela. Então,

$$f(t)=-\frac{2}{3}\sqrt{x}+(t+\sqrt{x})^2\frac{1}{\sqrt{x}}$$ (38)

Para separar as partes real e imaginária de $f(t)$ escrevo

$$t=u+iv$$

o que dá

$$f(t)=-\frac{2}{3}\sqrt{x}++\frac{1}{\sqrt{x}}\left(u^2-v^2+x+2\sqrt{x}u +i(2uv+2\sqrt{x}v)\right)$$

Então, nas vizinhanças de $t=-\sqrt{x}$, temos:

$$f(t)=-\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\left(u^2-v^2+2\sqrt{x}u\right)+ \frac{i}{\sqrt{x}}\left(2uv+2\sqrt{x}v\right)$$

$$f(t)= -\frac{2}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}(u^2-v^2+2\sqrt{x}u)+ \frac{2i}{\sqrt{x}}v(u+\sqrt{x})$$ (39)

Considere a reta $u=-\sqrt{x}$. Ao longo dela, $Im\;f(t)=0$. Logo, é uma curva de máximo aclive.

$$Re\;f(t)=\frac{1}{3}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\left( x+2\sqrt{x}(-\sqrt{x})\right)-\frac{v^2}{2}$$ (40)

ou, simplificando,

$$Re\;f(t)=\frac{\sqrt{x}}{3}-\frac{v^2}{\sqrt{x}}$$ (41)

Então a linha de maior aclive é a paralela ao eixo imaginário passando por $-\sqrt{x}$. Pondo $t=-\sqrt{x}+iv$, temos

$$y(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{x(-\sqrt{x}+iv)}e^{-\frac{1}{3} \left(-\sqrt{x}+iv\right)^3}idv$$ (42)

$$y(x)=ie^{-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}\int_{-\infty}^{\infty}dv e^{-\sqrt{x}v^2-\frac{i}{3}v^3}$$ (43)

e podemos omitir a exponencial imaginária do integrando, pois a parte gaussiana, para grandes valores de $x$, restringe de tal forma o trecho do contorno que conta para a integral, que $e^{\frac{i}{3}v^3}$ pode ser substituída por seu valor em $x=0$. Então,

$$y(x)=ie^{-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}\int_{-\infty}^{\infty... ...}}}=\sqrt{\pi}x^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}$$ (44)

Levando em conta a definição da função de Airy, temos o comportamento assintótico

$$\Phi(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}$$ (45)

Como a função de onda do sistema sob a ação do campo uniforme é

$$\psi{\xi}=\Phi(-\xi)$$

o comportamento assintótico que obtivemos é o esperado, uma vez que, para $\xi$ negativo e de grande módulo, estamos na região classicamente inacessível, e a exponencial negativa é bem-vinda. Consideremos agora o comportamento assintótico para grandes valores de $\xi$, o que corresponde, na função de Airy, a $x$ negativo e de frande módulo. Neste caso $\frac{df}{dt}=0$ dá

$$1-\frac{t^2}{x}=0$$

ou seja, $t^2=x$, com $x$ negativo. Então,

$$t=\pm i \sqrt{\vert x\vert}$$ (46)

Aqui os dois pontos sela devem ser considerados, já que estão, ambos, em regiões onde a integral converge. Vamos, primeiro, ao ponto $t=i\sqrt{\vert x\vert}$. Expandindo a função $f(t)=t-\frac{1}{3} \frac{t^3}{x}$ em torno do ponto sela, temos:

$$f(t)=f(i\sqrt{\vert x\vert})+\frac{(t-i\sqrt{\vert x\vert})^2}{2}\left(-\frac{2i\sqrt{\vert x\vert}}{x}\right)$$ (47)

onde omitimos o termo contendo a derivada primeira, já que ela se anula no ponto sela. Após um cálculo simples, obtém-se:

$$f(t)=\frac{2}{3}i\sqrt{\vert x\vert}+\frac{1}{2}\left(t^2-2... ... x\vert\right) \left(-\frac{2i}{x}\sqrt{\vert x\vert}\right)$$ (48)

Usando $t=u+iv$,

$$f(t)=\frac{\sqrt{\vert x\vert}}{x}\left(2uv-2u\sqrt{\vert x... ...\vert}}{x}\left(u^2-v^2+2v\sqrt{\vert x\vert}+x\right)\right)$$ (49)

Segue que

$$Re\;f(t)=\frac{\sqrt{\vert x\vert}}{x}2u\left(v-\sqrt{\vert x\vert}\right)$$ (50)

e

$$Im \;f(t)=\frac{2}{3}\sqrt{\vert x\vert}-\frac{\sqrt{\vert x\vert}}{x}\left( u^2-v^2+2v\sqrt{\vert x\vert}+x\right)$$ (51)

ou

$$Im\;f(t)=-\frac{1}{3}\sqrt{\vert x\vert}-\frac{\sqrt{\vert x\vert}}{x}\left(u^2-v^2\right)+2v$$ (52)

Ao longo da reta $v=u+\sqrt{\vert x\vert}$ temos $Im\;f(t)=const.$, logo, este é o primeiro trecho do caminho, aquele que passa pelo ponto sela $t=i\sqrt{\vert x\vert}$. Considerações inteiramente análogas levam à conclusão que o segundo trecho do contorno é a reta $v=-u+\sqrt{\vert x\vert}$, ou, mais precisamente, o segmento que começa no eixo real, em $\sqrt{\vert x\vert}$ e vai a $v=-\infty$. Assim, o contorno de integração adequado para o comportamento assintótico para $x$ negativo e de grande módulo é o que está representado na figura abaixo.

Contorno para o cálculo do comportamento
assintótico para $x$ negativo, de grande
módulo.

A contribuição do trecho superior do contorno à integral é:

$$\int_{C_1}e^{x\left(t-\frac{t^3}{3x}\right)}dt = \frac{\sqrt{2}}{2}\int_{\sqrt{\vert x\vert}} ^{-\infty}du e^{-i\f... ...2\frac{\sqrt{\vert x\vert}}{x}u^2\right)}e^{-ix\frac{2}{3} \sqrt{\vert x\vert}}$$ (53)

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}e^{-i\frac{2}{3}x\sqrt{\vert x\vert}-i\frac{\pi}{4}}\int_{\sqrt{\vert x\vert}}^{-\infty} due^{-2\sqrt{\vert x\vert}u^2}$$ (54)

$$= -\frac{\sqrt{\vert x\vert}}{2}e^{-i\left(\frac{2}{3}x\sqrt{\vert x\vert}+\frac{\pi}{4}\right)} \sqrt{\frac{\pi}{\sqrt{\vert x\vert}}}$$ (55)

$$= -\frac{\sqrt{2\pi}}{2\vert x\vert^{\frac{1}{4}}}e^{-i\left(\frac{2}{3}x\sqrt{\vert x\vert}+\frac{\pi}{4} \right)}$$ (56)

Alguma álgebra elementar leva este resultado à forma:

$$\frac{i\sqrt{2\pi}}{2\vert\xi\vert^{\frac{1}{4}}}e^{i\left(\frac{2}{3}\xi^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi}{4} \right)}$$ (57)

onde pusemos $x=-\xi$. A contribuição do outro trecho é perfeitamente análoga, dando como resultado

$$-\frac{i\sqrt{2\pi}}{2\vert\xi\vert^{\frac{1}{4}}}e^{-i\left(\frac{2}{3}\xi^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi}{4} \right)}$$ (58)

Somando as duas, temos

$$\Psi(\xi)=\frac{A}{\xi^{\frac{1}{4}}}\sin{\left(\frac{2}{3}\xi^{\frac{3}{2}}+\frac{\pi}{4}\right)}$$ (59)

Vamos nos deter agora um pouco na interpretação física do resultado, comparando a solução com a solução clássica para o mesmo problema. É preciso ressaltar que o que calculamos foram as funções de onda dos estados estacionários de um corpo sob a ação de uma força constante (queda livre, por exemplo). Classicamente nunca, ou raramente, estudamos estados estacionários, o que torna a comparação entre os resultados mais dificil. Para realizar estados estacionários em queda livre na mecânica clássica, temos que recorrer a um conjunto de muitas partículas. Um bom modelo de queda livre em estado estacionário na mecânica clássica é uma cachoeira sem turbulência, um lençol homogêneo de água em queda livre. Cada gota de água estará em movimento, mas o conjunto de todas as gotas forma uma figura que, no conjunto, parece imóvel. Vamos mostrar que a solução quântica que obtivemos possui algo em comum com a solução clássica. Isto é mais fácil de ver usando-se a expressão assintótica da Eq.(59). De fato, usando a Eq.(59) temos que

$$\vert\Psi(\xi)\vert^2= \vert A\vert^2\frac{\sin^2{\left(\frac{2}{3}\xi^{\frac{3}{2}} + \frac{\pi}{4}\right)}}{\sqrt{\xi}}$$ (60)

O sistema clássico correspondente é uma partcxicula de massa $m$ em queda livre (ou, antes, uma enorme quantidade delas). A conservacxa da energia dá

$$\frac{mv^2}{2}-mgx=E$$ (61)

de onde se tira

$$v=\frac{2}{m}\sqrt{E+mgx}$$ (62)

e, portanto,

$$\frac{1}{v}\sim \frac{1}{\sqrt{x}}$$ (63)

Para o sistema clássico, a probabilidade de se encontrar a partcxicula em torno de uma posicxa $x$ é inversamente proporcional à velocidade dela naquela posicxa, pois é diretamente proporcional ao tempo que a partcxicula em torno da posicxa. Quanticamente esta probabilidade é dada por $\vert\Psi(x)\vert^2$. Comparando a Eq.(60) com a Eq.(63), vemos que a dependência em $\frac{1}{x}$ comparece nas duas.