O Quantum

Planck voltou então ao problema dos osciladores. Tudo estava em calcular a energia média, denotada acima por $E$. Para osciladores em equilíbrio com radiação térmica à temperatura $T$, temos

$$<E> = \frac{\int dE E \exp{-\frac{E}{kT}}}{\int dE \exp{-\frac{E}{kT}}}$$

que é a fórmula clássica de Boltzmann. Sem mais hipóteses sobre $E$ obtemos $<E>=kT$, e a fórmula (incorreta) de Rayleigh. De maneira inteiramente pragmática, para obter a fórmula que inventara, Planck supôs que, na interação dos osciladores com a radiação, ou seja, na interação da radiação com a matéria, no equilíbrio, as energias possíveis eram da forma $E=n\epsilon$, com

$$\epsilon=h\nu \;.$$

sendo $h$ um parâmetro a determinar experimentalmente. Neste caso o cálculo do valor médio dá:

$$<E> = \frac{\sum_{n=0}^{\infty}n\epsilon\exp{\-\frac{n\epsil... ...frac{ne}{kT}}} = \frac{\epsilon}{ \exp{\frac{\epsilon}{kT}}-1}$$

ou

$$E(\nu, T) = \frac{h\nu}{\exp{\frac{h\nu}{kT}} -1}$$

e, finalmente,

$$u_\nu(T)=\frac{8\pi \nu^2}{c^3}\frac{h \nu}{\exp{\frac{h\nu}{kt}}-1}$$

que é a fórmula de Planck. Os valores permitidos para a troca de energia foram denominados ``quanta'' de energia. Planck falou deles:``Tratou-se de uma hipótese puramente formal, e não refleti muito sobre ela, mas apenas sobre o fato de que, sob quaisquer circunstâncias, custasse o que custasse, um resultado positivo tinha de ser obtido.''