A transformação especial de Lorentz

Chama-se⁴. Trata-se da transformação de Lorentz de um sistema de referência $S$ para um outro, $S'$, que tem os eixos espaciais para lelos aos de $S$, tem uma velocidade relativa (em relação a $S$) de módulo $v$, ao longo da direção positiva dos eixos $z$, e tal que a seguinte condição se verifica: no instante $t=0$ as origens dos dois sistemas de eixos coincidem, e neste evento (a coincidência espacial das origens, $t'=0$ também. Esta é a transformação de Lorentz mais simples que não é trivial nem se reduz a uma mera rotação . Como é bem conhecido, ela é dada por:

$$x^{' 0} = \gamma(x^0 - \beta x^1)$$ (104)

$$x^{' 1} = \gamma(-\beta x^0 + x^1)$$ (105)

$$x^{' 2} = x^2$$ (106)

$$x^{' 3} = x^3$$ (107)

onde $\beta=\frac{v}{c}$, e $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$. Formalmente, temos

$$\ x^{' \mu}=a^{\mu}_{\;\nu}x^{\nu}\;,$$ (108)

portanto

$$a^0_{\; 0} = \gamma$$ (109)

$$a^0_{\; 1} = -\beta \gamma$$ (110)

$$a^1_{\; 0} = -\beta \gamma$$ (111)

$$a^1_{\; 1} = \gamma$$ (112)

$$a^2_{\; 2} = 1$$ (113)

$$a^3_{\; 3} = 1$$ (114)

todos os outros coeficientes sendo nulos.