Transformações de Lorentz

Um evento 'e um ponto no espaço-tempo, isto é, alguma coisa que acontece em um ponto $(x,y,z)$ em um instante $t$. O espaço-tempo de Minkowski é o conjunto dos eventos, caracterizados por suas coordenadas espaciais mais a coordenada $x^0=ct$, que dá o instante em que o evento ocorre. As transformações de Lorentz são transformações entre membros de uma classe especial de referenciais desse espaço, os referenciais inerciais.
Daqui para diante usaremos a seguinte convenção de notação : índices gregos, como $\mu$, $\lambda$, etc, terão valores (0,1,2,3); índices latinos, como $i$, $j$, etc, terão valores (1,2,3). Assim,

$$v^{\mu}v_{\mu}=v^0v_0+v^1v_1+v^2v_2+v^3v_3$$

enquanto que

$$v^kv_k=v^1v_1+v^2v_2+v^3v_3$$

Definição : as transformações de Lorentz são as transformações lineares homogêneas que mantêm invariante a expressão

$$\ s^2=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2$$ (99)

Em maior detalhe: considere um determinado evento, visto por um observador no referencial inercial $S$ e também por outro observador, no referencial inercial $S'$. O observador em $S$ atribui ao evento as 4 coordenadas $(x^0, x^1,x^2,x^3)$, enquanto que o outro atribui ao mesmo evento $(x^{' 0},x^{' 1},x^{' 2},x^{' 3})$. A teoria da relatividade nos diz que

$$\ (x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2=(x^{' 0})^2-(x^{' 1})^2-(x^{' 2})^2-(x^{' 3})^2$$ (100)

Escrevendo na forma usual, temos

$$\ g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}=g_{\lambda \epsilon}x^{' \lambda}x^{' \epsilon}$$ (101)

onde $g_{\mu \nu}$ tem os valores

$$g_{00}=-g_{11}=-g_{22}=-g_{33}=1$$ (102)

todas as demais componentes sendo nulas. As transformações de Lorentz são, então, transformações do tipo

$$\ x^{' \mu}=a^{\mu}_{\; \nu}x^{\nu}$$ (103)

que satisfazem a condição (101).