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Quando se utilizam bases não ortogonais, uma surpresa aparece:
um vetor tem dois tipos diferentes de componentes, chamadas
componentes covariantes e componentes contravariantes.
Isto vem do fato, como mostra a figura, de que podemos identificar
um vetor através de suas projeções nos eixos, de duas maneiras
diferentes: por projeções ortogonais e projeções paralelas
(em eixos ortogonais essas duas projeções coincidem).
O vetor , referido a eixos oblíquos, pode ser caracterizado tanto pelo
par de números , obtidos por projeção de paralelamente
aos eixos, quanto pelo par de números , obtidos por projeção
ortogonal. são as coordenadas contravariantes do vetor .
são as coordenadas covariantes. A relação entre elas
é obtida facilmente:
assim como a relação inversa:
O comprimento do vetor, em termos de suas componentes
contravariantes, é dado por
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(45) |
onde tem os seguintes valores, tabulados como uma matriz:
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(46) |
Usando (77), temos a expressão para em termos das
componentes covariantes:
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(47) |
com
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(48) |
Vamos, a partir de agora,voltar a usar a notação abreviada: em expressões
do tipo
omitiremos o símbolo da soma (). Toda vez que tivermos um
índice repetido, como em (o é repetido) somaremos
sobre esse índice, como se houvesse o na frente.
Então a Eq.(42) pode ser escrita
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(49) |
e a Eq.(77),
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(50) |
É claro então que
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(51) |
e, conseqüentemente,
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(52) |
Isto é, a matriz de elementos é a inversa da matriz de elementos
.
Se introduzirmos vetores unitários ao longo do eixo e
ao longo do eixo , teremos
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(53) |
que define as componentes contravariantes. As componentes covariantes são
definidas por
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(54) |
Usando (53) em (54), temos
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(55) |
logo, comparando com (49),
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(56) |
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Henrique Fleming
2002-04-15