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Eixos não ortogonais

Quando se utilizam bases não ortogonais, uma surpresa aparece: um vetor tem dois tipos diferentes de componentes, chamadas componentes covariantes e componentes contravariantes.

\begin{pspicture}(0,0)(10,6)
\psline[linewidth=1pt](0.7,0.5)(3,5)
\psline[line...
...){$x^2$}
\uput[0](2.3,4.8){$x_2$}
\uput[0](0.3,0.8){$\alpha$}
\end{pspicture}
Isto vem do fato, como mostra a figura, de que podemos identificar um vetor através de suas projeções nos eixos, de duas maneiras diferentes: por projeções ortogonais e projeções paralelas (em eixos ortogonais essas duas projeções coincidem). O vetor $OP$, referido a eixos oblíquos, pode ser caracterizado tanto pelo par de números $(x^1,x^2)$, obtidos por projeção de $P$ paralelamente aos eixos, quanto pelo par de números $(x_1,x_2)$, obtidos por projeção ortogonal.$(x^1,x^2)$ são as coordenadas contravariantes do vetor $OP$. $(x_1,x_2)$ são as coordenadas covariantes. A relação entre elas é obtida facilmente:
$\displaystyle \
x_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle x^1 + x^2 \cos{\alpha}$ (41)
$\displaystyle x_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle x^2 + x^1 \cos{\alpha}$ (42)

assim como a relação inversa:
$\displaystyle \
x^1$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sin^2{\alpha}}(x_1-x_2\cos{\alpha})$ (43)
$\displaystyle x^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\sin^2{\alpha}}(x_2 - x_1 \cos{\alpha})$ (44)

O comprimento $\overline{OP}$ do vetor, em termos de suas componentes contravariantes, é dado por
\begin{displaymath}\
\overline{OP}^2=(x^1)^2+(x^2)^2+2x^1x^2\cos{\alpha}=\sum_{i,j}g_{ij}x^ix^j
\end{displaymath} (45)

onde $g_{ij}$ tem os seguintes valores, tabulados como uma matriz: \(
\left(\begin{array}{clcr}
g_{11} & g_{12}\\
g_{21} & g_{22}
\end{array} \right)
\)
\begin{displaymath}\
g_{ij}=
\left(\begin{array}{clcr}
g_{11} & g_{12}\\
g...
...}
1 & \cos{\alpha}\\
\cos{\alpha} & 1
\end{array} \right)
\end{displaymath} (46)

Usando (77), temos a expressão para $\overline{OP}$ em termos das componentes covariantes:
\begin{displaymath}\
\overline{OP}^2=\frac{1}{\sin^2{\alpha}}\left((x_1)^2+(x_2)^2-2x_1x_2\cos{\alpha}
\right)=\sum_{i,j}g^{ij}x_ix_j
\end{displaymath} (47)

com
\begin{displaymath}\
g^{ij}=\frac{1}{\sin^2{\alpha}}
\left(\begin{array}{clcr}
1 & -\cos{\alpha}\\
-\cos{\alpha} & 1
\end{array} \right)
\end{displaymath} (48)

Vamos, a partir de agora,voltar a usar a notação abreviada: em expressões do tipo

\begin{displaymath}
\sum_{j}g_{ij}x^j
\end{displaymath}

omitiremos o símbolo da soma ($\Sigma$). Toda vez que tivermos um índice repetido, como em $g_{ij}x^j$ (o $j$ é repetido) somaremos sobre esse índice, como se houvesse o $\sum_j$ na frente. Então a Eq.(42) pode ser escrita
\begin{displaymath}\
x_i = g_{ij}x^j
\end{displaymath} (49)

e a Eq.(77),
\begin{displaymath}\
x^i=g^{ij}x_j
\end{displaymath} (50)

É claro então que
\begin{displaymath}\
x_i=g_{ij}x^j=g_{ij}g^{jl}x_l
\end{displaymath} (51)

e, conseqüentemente,
\begin{displaymath}\
g_{ij}g^{jl}=\delta_{i}^{l}
\end{displaymath} (52)

Isto é, a matriz de elementos $g_{ij}$ é a inversa da matriz de elementos $g^{ij}$. Se introduzirmos vetores unitários $\vec{e}_1$ ao longo do eixo $1$ e $\vec{e}_2$ ao longo do eixo $2$, teremos
\begin{displaymath}\
\vec{x}=x^{i}\vec{e}_i
\end{displaymath} (53)

que define as componentes contravariantes. As componentes covariantes são definidas por
\begin{displaymath}\
x_i = \vec{x}.\vec{e}_i
\end{displaymath} (54)

Usando (53) em (54), temos
\begin{displaymath}\
x_i=(x^j\vec{e}_j).\vec{e}_i=x^j(\vec{e}_i.\vec{e}_j)
\end{displaymath} (55)

logo, comparando com (49),
\begin{displaymath}\
g_{ij}=\vec{e}_i.\vec{e}_j
\end{displaymath} (56)



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Henrique Fleming 2002-04-15