Métrica no espaço

Seja $A^{\mu \nu}$ um conjunto de números tais que

$$\ A^{\mu \nu}B_{\mu}B_{\nu}$$ (77)

seja um invariante, para vetores covariantes $B_{\mu}$ arbitrários. Então $A^{\mu \nu}$ é um tensor duas vezes contravariante. De fato, sejam $A^{'\lambda \omega}$ as componentes de $A$ na nova base. Então, como a expressão (77) é invariante, temos

$$\ A^{'\lambda \omega}B'_{\lambda}B'_{\omega}=A^{\mu \nu}B_{\mu}B_{\nu}$$ (78)

Mas $B_{\mu}=\frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\mu}}B'_{\lambda}$, com uma expressão análoga para $B_{\mu}$. Segue que

$$\ A^{'\lambda \omega}B'_{\lambda}B'_{\omega}= A^{\mu \nu} ... ...rtial x'^{\omega}} {\partial x^{\nu}}B'_{\lambda}B'_{\omega}$$ (79)

logo,

$$\ A^{'\lambda \omega}=A^{\mu \nu}\frac{\partial x'^{\lambda... ...rtial x^{\mu}} \frac{\partial x'^{\omega}}{\partial x^{\nu}}$$ (80)

e isto prova a nossa tese. Analogamente, se $A_{\mu \nu}$ são tais que, para vetores $B^{\mu}$ arbitrários, $A_{\mu \nu}B^{\mu}B^{\nu}$ é invariante, então $A_{\mu \nu}$ é um tensor duas vezes contravariante.
Corolário: $g_{\mu \nu}$ é um tensor duas vezes covariante. De fato,

$$\ ds^2= g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$ (81)

é um invariante para qualquer $dx^{\mu}$. O tensor $g_{\mu \nu}$ é de grande importância, pelo que se segue. Seja $A^{\mu}$ um vetor contravariante, e considere a expressão

$$\ B_{\nu}=g_{\nu \mu}A^{\mu}$$ (82)

Como

$$\ g_{\mu \nu}=\frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}... ...ac{\partial x'^{\beta}}{\partial x^{\mu}} g'_{\alpha \beta}$$ (83)

e

$$\ A^{\mu}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\alpha}}A'^{\alpha}$$ (84)

tem-se

$$\begin{eqnarray*} B_{\nu} & = & \frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}}\... ... = & \frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\nu}}B'_{\lambda} \end{eqnarray*}$$

isto é, $B_{\nu}$ é um vetor covariante, que depende só de $A$ e do tensor métrico. Por isso, adota-se a convenção de usar para este particular $B_{\nu}$ a notação $A_{\nu}$. Conclusão: usando a métrica, associa-se a cada vetor contravariante $A^{\mu}$ um único vetor covariante $A_{\mu}$. Deixa-se, então, quando há uma métrica, de falar em ``vetor contravariante'' ou ``vetor covariante'', para falar simplesmente de vetor, que tem componentes covariantes e componentes contravariantes. A operação

$$\ A_{\mu}=g_{\mu \nu}A^{\nu}$$ (85)

``baixa'' o índice de $A^{\mu}$.

Teorema: uma equação $T^{\mu \nu}=0$, onde as componentes são em relação a um base $S$, implica que, em qualquer outra base $S'$, se tenha $T^{'\mu \nu}=0$. Ou seja, o tensor que tem todas as componentes nulas em uma base, as tem nulas em todas as bases. A demonstração é trivial, a partir das fórmulas de transformação das componentes.