F.E.M. periódica

O caso mais interessante é o de uma força eletromotriz periódica, $V_0e^{j\omega t}$ (usamos $j$ como $\surd(-1)$ para não confundir com a corrente, denotada por $i$). Para achar uma solução particular de

$$L \frac{di}{dt}+Ri=V_0e^{j\omega t}$$ (18)

tentamos $i=Fe^{j\omega t}$, com $F$ a determinar. Como, então,

$$\frac{di}{dt}=Fe^{j \omega t}$$

obtemos, para a Eq. 18,

$$Lj\omega F e^{j\omega t} + RFe^{j\omega t}= V_0e^{j\omega t} .$$

Cancelando a exponencial obtém-se facilmente

$$F=\frac{V_0}{R+j\omega L}$$

ou seja,

$$i=\frac{V_0}{R+j\omega L}e^{j\omega t}$$ (19)

Note que

$$R+j \omega L = \sqrt(R^2+\omega^2L^2)e^{j arctg(\frac{\omega L}{R})}$$

de maneira que

$$\frac{1}{R+j\omega L}=\frac{1}{\sqrt(R^2+\omega^2L^2)}e^{-j arctg(\frac{\omega L}{R})}$$

Levando em 19 , temos

$$i=\frac{V_0}{\sqrt(R^2+\omega^2L^2)}e^{j(\omega t - arctg(\frac{\omega L}{R}))}$$ (20)

ou, finalmente, tomando a parte real,

$$i=\frac{V_0}{\sqrt(R^2+\omega^2L^2)}cos(\omega t- \phi)$$ (21)

com

$$\phi=arctg(\frac{\omega L}{R})$$

A solução geral da Eq. 13 será, então,

$$i(t)=\frac{V_0}{\sqrt(R^2+\omega^2L^2)}cos(\omega t- \phi)+ Ke^{-\frac{R}{L}t}$$ (22)

onde se identificam claramente a corrente estacionária periódica e o termo transiente.