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A magia da equação de Laplace

Henrique Fleming

21-8-01

Na eletrostática temos as equações básicas
\begin{displaymath}
rot \vec{E}=0
\end{displaymath} (1)

(que significa que a força eletrostática é conservativa) e, nas regiões onde não há cargas,
\begin{displaymath}
div \vec{E}=0
\; .
\end{displaymath} (2)

A primeira dessas equações é equivalente a
\begin{displaymath}
\vec{E}=-grad\; \phi
\; ,
\end{displaymath} (3)

onde $\phi$ é o potencial escalar. Usando 3 em 2, temos
\begin{displaymath}
div \; grad\; \phi =0
\end{displaymath} (4)

ou
\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2\phi=0
\end{displaymath} (5)

onde $\vec{\nabla}^2$ é o operador Laplaceano. A equação 5 é a famosa equação de Laplace. Boa parte de sua fama é devida a um poderoso teorema de existência e unicidade que é o tema principal dessas notas. Para demonstrar esse teorema precisamos do teorema do divergente. Numa região onde há cargas, não vale a equação de Laplace, que é substituída pela equação de Poisson,
\begin{displaymath}
\vec{\nabla}^2\phi = -4\pi \rho
\end{displaymath} (6)

onde $\rho$ é a densidade volumétrica de carga. Por outro lado, generalizando a lei de Coulomb, vimos que
\begin{displaymath}
\phi(\vec{r})=\int d^3\vec{r'}\frac{\rho(\vec{r}')}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert}\;,
\end{displaymath} (7)

e que, portanto, a Eq.(7) exibe uma solução da Eq.(6). De fato, (7) é a solução de (6) que se anula no infinito. Mais tarde vamos estudar o método inventado por George Green para obter este resultado trabalhando diretamente com a equação de Poisson.


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Henrique Fleming 2002-04-13